Deze geometrische vormen omringen ons overal. Convexe polygonen kunnen natuurlijk zijn, zoals een honingraat, of kunstmatig (door de mens gemaakt). Deze figuren worden gebruikt bij de productie van verschillende soorten coatings, in schilderkunst, architectuur, decoraties, enz. Convexe veelhoeken hebben de eigenschap dat al hun punten zich aan dezelfde kant van een rechte lijn bevinden die door een paar aangrenzende hoekpunten van deze geometrische figuur gaat. Er zijn ook andere definities. Een veelhoek wordt convex genoemd als deze zich in een enkel halfvlak bevindt ten opzichte van een rechte lijn die een van zijn zijden bevat.
Convexe veelhoeken
In de loop van de elementaire meetkunde worden altijd alleen eenvoudige veelhoeken beschouwd. Om alle eigenschappen van zulke te begrijpengeometrische vormen, is het noodzakelijk om hun aard te begrijpen. Om te beginnen moet worden begrepen dat elke lijn gesloten wordt genoemd, waarvan de uiteinden samenvallen. Bovendien kan de daardoor gevormde figuur verschillende configuraties hebben. Een polygoon is een eenvoudige gesloten onderbroken lijn, waarin aangrenzende schakels zich niet op dezelfde rechte lijn bevinden. De schakels en hoekpunten zijn respectievelijk de zijkanten en hoekpunten van deze geometrische figuur. Een eenvoudige polylijn mag geen eigen snijpunten hebben.
De hoekpunten van een veelhoek worden aangrenzend genoemd als ze de uiteinden van een van zijn zijden vertegenwoordigen. Een geometrische figuur die het n-de aantal hoekpunten heeft, en dus het n-de aantal zijden, wordt een n-hoek genoemd. De onderbroken lijn zelf wordt de rand of contour van deze geometrische figuur genoemd. Een veelhoekig vlak of een platte veelhoek wordt het eindgedeelte genoemd van elk vlak dat erdoor wordt begrensd. De aangrenzende zijden van deze geometrische figuur worden segmenten van een onderbroken lijn genoemd die uit één hoekpunt komen. Ze zullen niet aangrenzend zijn als ze uit verschillende hoekpunten van de veelhoek komen.
Andere definities van convexe polygonen
In de elementaire meetkunde zijn er verschillende meer equivalente definities die aangeven welke veelhoek convex wordt genoemd. Al deze uitspraken zijn even waar. Een veelhoek wordt als convex beschouwd als:
• elk segment dat twee willekeurige punten erin verbindt, ligt er volledig in;
• erinal zijn diagonalen liggen;
• elke interne hoek is niet groter dan 180°.
Een veelhoek verdeelt een vlak altijd in 2 delen. De ene is beperkt (hij kan in een cirkel worden ingesloten) en de andere is onbeperkt. Het eerste wordt het binnengebied genoemd en het tweede is het buitengebied van deze geometrische figuur. Deze veelhoek is een snijpunt (met andere woorden, een gemeenschappelijke component) van verschillende halve vlakken. Bovendien hoort elk segment dat eindigt op punten die bij de veelhoek horen er volledig bij.
Rassen van convexe veelhoeken
De definitie van een convexe veelhoek geeft niet aan dat er veel soorten zijn. En elk van hen heeft bepaalde criteria. Convexe polygonen met een binnenhoek van 180° worden dus zwak convex genoemd. Een convexe geometrische figuur met drie hoekpunten wordt een driehoek genoemd, vier - een vierhoek, vijf - een vijfhoek, enz. Elk van de convexe n-gons voldoet aan de volgende essentiële vereiste: n moet gelijk zijn aan of groter zijn dan 3. Elk van de de driehoeken is convex. Een geometrische figuur van dit type, waarin alle hoekpunten zich op dezelfde cirkel bevinden, wordt ingeschreven in een cirkel genoemd. Een convexe veelhoek wordt omgeschreven genoemd als alle zijden in de buurt van de cirkel hem raken. Van twee polygonen wordt alleen gezegd dat ze gelijk zijn als ze door superpositie over elkaar heen kunnen worden gelegd. Een vlakke veelhoek wordt een veelhoekig vlak genoemd.(deel van het vlak), dat wordt begrensd door deze geometrische figuur.
Regelmatige convexe veelhoeken
Regelmatige veelhoeken zijn geometrische vormen met gelijke hoeken en zijden. Daarbinnen bevindt zich een punt 0, dat zich op dezelfde afstand van elk van zijn hoekpunten bevindt. Het wordt het centrum van deze geometrische figuur genoemd. De segmenten die het centrum verbinden met de hoekpunten van deze geometrische figuur worden apothema's genoemd, en de segmenten die punt 0 verbinden met de zijkanten worden radii genoemd.
Een regelmatige vierhoek is een vierkant. Een gelijkzijdige driehoek wordt een gelijkzijdige driehoek genoemd. Voor zulke figuren geldt de volgende regel: elke hoek van een convexe veelhoek is 180°(n-2)/ n, waarbij n het aantal hoekpunten is van deze convexe geometrische figuur.
De oppervlakte van een regelmatige veelhoek wordt bepaald door de formule:
S=ph, waarbij p de helft is van de som van alle zijden van de gegeven veelhoek en h de lengte van het apothema.
Eigenschappen van convexe veelhoeken
Convexe polygonen hebben bepaalde eigenschappen. Dus een segment dat twee willekeurige punten van zo'n geometrische figuur verbindt, bevindt zich er noodzakelijkerwijs in. Bewijs:
Veronderstel dat P een gegeven convexe veelhoek is. We nemen 2 willekeurige punten, bijvoorbeeld A, B, die bij P horen. Volgens de bestaande definitie van een convexe veelhoek bevinden deze punten zich aan dezelfde kant van de lijn, die elke zijde van P bevat. Daarom heeft AB deze eigenschap ook en zit in P. Een convexe veelhoek kan altijd in meerdere driehoeken worden verdeeld door absoluut alle diagonalen die vanuit een van zijn hoekpunten worden getrokken.
Hoeken van convexe geometrische vormen
De hoeken van een convexe veelhoek zijn de hoeken gevormd door de zijkanten. Binnenhoeken bevinden zich in het binnengebied van een bepaalde geometrische figuur. De hoek die wordt gevormd door de zijden die bij één hoekpunt samenkomen, wordt de hoek van een convexe veelhoek genoemd. Hoeken die grenzen aan de interne hoeken van een bepaalde geometrische figuur worden extern genoemd. Elke hoek van een convexe veelhoek die zich daarin bevindt, is:
180° - x, waarbij x de waarde van de buitenste hoek is. Deze eenvoudige formule werkt voor alle geometrische vormen van dit type.
Over het algemeen geldt voor buitenhoeken de volgende regel: elke hoek van een convexe veelhoek is gelijk aan het verschil tussen 180° en de waarde van de binnenhoek. Het kan waarden hebben die variëren van -180° tot 180°. Daarom, wanneer de binnenhoek 120° is, zal de buitenhoek 60° zijn.
Som van hoeken van convexe veelhoeken
De som van de binnenhoeken van een convexe veelhoek wordt bepaald door de formule:
180°(n-2), waarbij n het aantal hoekpunten van de n-gon is.
De som van de hoeken van een convexe veelhoek is vrij eenvoudig te berekenen. Overweeg een dergelijke geometrische figuur. Om de som van de hoeken binnen een convexe veelhoek te bepalen, is het nodigverbind een van zijn hoekpunten met andere hoekpunten. Als resultaat van deze actie worden (n-2) driehoeken verkregen. We weten dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is. Aangezien hun aantal in elke veelhoek (n-2) is, is de som van de binnenhoeken van zo'n figuur 180° x (n-2).
De som van de hoeken van een convexe veelhoek, namelijk twee interne en aangrenzende externe hoeken, voor een gegeven convexe geometrische figuur zal altijd gelijk zijn aan 180°. Op basis hiervan kun je de som van alle hoeken bepalen:
180 x n.
De som van de binnenhoeken is 180°(n-2). Op basis hiervan wordt de som van alle buitenhoeken van deze figuur bepaald door de formule:
180°n-180°-(n-2)=360°.
De som van de buitenhoeken van een convexe veelhoek is altijd 360° (ongeacht het aantal zijden).
De buitenhoek van een convexe veelhoek wordt over het algemeen weergegeven door het verschil tussen 180° en de waarde van de binnenhoek.
Andere eigenschappen van een convexe veelhoek
Naast de basiseigenschappen van deze geometrische vormen, hebben ze nog andere die ontstaan bij het manipuleren ervan. Dus elk van de polygonen kan worden verdeeld in verschillende convexe n-gons. Om dit te doen, is het noodzakelijk om elk van zijn zijden voort te zetten en deze geometrische figuur langs deze rechte lijnen te snijden. Het is ook mogelijk om elke veelhoek op te splitsen in meerdere convexe delen, zodat de hoekpunten van elk van de stukken samenvallen met al zijn hoekpunten. Van zo'n geometrische figuur kunnen heel eenvoudig driehoeken worden gemaakt door alles te tekenendiagonalen van een hoekpunt. Zo kan elke polygoon uiteindelijk worden verdeeld in een bepaald aantal driehoeken, wat erg handig blijkt te zijn bij het oplossen van verschillende problemen die met dergelijke geometrische vormen samenhangen.
Omtrek van een convexe veelhoek
Segmenten van een onderbroken lijn, zijden van een veelhoek genoemd, worden meestal aangeduid met de volgende letters: ab, bc, cd, de, ea. Dit zijn de zijden van een geometrische figuur met hoekpunten a, b, c, d, e. De som van de lengtes van alle zijden van deze convexe veelhoek wordt de omtrek genoemd.
Veelhoekomtrek
Convexe veelhoeken kunnen worden ingeschreven en omschreven. Een cirkel die alle zijden van deze geometrische figuur raakt, wordt daarin ingeschreven genoemd. Zo'n veelhoek wordt omgeschreven genoemd. Het middelpunt van een cirkel die is ingeschreven in een veelhoek is het snijpunt van de bissectrices van alle hoeken binnen een bepaalde geometrische figuur. De oppervlakte van zo'n veelhoek is:
S=pr, waarbij r de straal van de ingeschreven cirkel is en p de halve omtrek van de gegeven veelhoek.
Een cirkel die de hoekpunten van een veelhoek bevat, wordt eromheen beschreven. Bovendien wordt deze convexe geometrische figuur ingeschreven genoemd. Het middelpunt van de cirkel, die om zo'n veelhoek is omgeschreven, is het snijpunt van de zogenaamde middelloodlijnen van alle zijden.
Diagonalen van convexe geometrische vormen
De diagonalen van een convexe veelhoek zijn segmenten dieniet-aangrenzende hoekpunten verbinden. Elk van hen ligt in deze geometrische figuur. Het aantal diagonalen van zo'n n-gon wordt bepaald door de formule:
N=n (n – 3)/ 2.
Het aantal diagonalen van een convexe veelhoek speelt een belangrijke rol in de elementaire meetkunde. Het aantal driehoeken (K) waarin het mogelijk is om elke convexe veelhoek te verdelen, wordt berekend met de volgende formule:
K=n – 2.
Het aantal diagonalen van een convexe veelhoek hangt altijd af van het aantal hoekpunten.
Ontbinding van een convexe veelhoek
In sommige gevallen is het, om geometrische problemen op te lossen, nodig om een convexe veelhoek te splitsen in meerdere driehoeken met niet-kruisende diagonalen. Dit probleem kan worden opgelost door een specifieke formule af te leiden.
Definitie van het probleem: laten we een correcte verdeling van een convexe n-hoek in verschillende driehoeken noemen door diagonalen die elkaar alleen snijden op de hoekpunten van deze geometrische figuur.
Oplossing: Stel dat Р1, Р2, Р3 …, Pn hoekpunten zijn van deze n-hoek. Het getal Xn is het nummer van zijn partities. Laten we de verkregen diagonaal van de geometrische figuur Pi Pn zorgvuldig bekijken. In elk van de reguliere partities behoort P1 Pn tot een bepaalde driehoek P1 Pi Pn, die 1<i<n heeft. Als we hiervan uitgaan en aannemen dat i=2, 3, 4 …, n-1, krijgen we (n-2) groepen van deze partities, die alle mogelijke specifieke gevallen bevatten.
Laat i=2 één groep regelmatige partities zijn, die altijd de diagonaal Р2 Pn bevat. Het aantal partities dat het binnenkomt is hetzelfde als het aantal partities(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Met andere woorden, het is gelijk aan Xn-1.
Als i=3, dan bevat deze andere groep partities altijd de diagonalen Р3 Р1 en Р3 Pn. In dit geval zal het aantal reguliere partities in deze groep samenvallen met het aantal partities van de (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Met andere woorden, het zal gelijk zijn aan Xn-2.
Laat i=4, dan zal onder de driehoeken zeker een regelmatige partitie een driehoek P1 P4 Pn bevatten, waaraan de vierhoek P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn zal aansluiten. Het aantal reguliere partities van zo'n vierhoek is X4, en het aantal partities van een (n-3)-gon is Xn-3. Op basis van het voorgaande kunnen we zeggen dat het totale aantal correcte partities in deze groep Xn-3 X4 is. Andere groepen met i=4, 5, 6, 7… zullen Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … reguliere partities bevatten.
Laat i=n-2, dan is het aantal correcte splitsingen in deze groep gelijk aan het aantal splitsingen in de groep waar i=2 (met andere woorden, gelijk aan Xn-1).
Sinds X1=X2=0, X3=1, X4=2…, is het aantal van alle partities van een convexe veelhoek:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Voorbeeld:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Aantal correcte partities die één diagonaal binnen snijden
Bij het controleren van speciale gevallen kan men uitkomen opde aanname dat het aantal diagonalen van convexe n-gons gelijk is aan het product van alle partities van deze figuur door (n-3).
Bewijs van deze aanname: stel je voor dat P1n=Xn(n-3), dan kan elke n-gon worden verdeeld in (n-2)-driehoeken. Bovendien kan er een (n-3)-vierhoek uit worden samengesteld. Daarnaast heeft elke vierhoek een diagonaal. Aangezien er in deze convexe geometrische figuur twee diagonalen kunnen worden getekend, betekent dit dat er in alle (n-3)-vierhoeken extra (n-3) diagonalen kunnen worden getekend. Op basis hiervan kunnen we concluderen dat het in elke reguliere partitie mogelijk is om (n-3)-diagonalen te tekenen die voldoen aan de voorwaarden van dit probleem.
Gebied van convexe veelhoeken
Vaak wordt het bij het oplossen van verschillende problemen van elementaire geometrie noodzakelijk om het gebied van een convexe veelhoek te bepalen. Neem aan dat (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n de reeks coördinaten is van alle aangrenzende hoekpunten van een veelhoek die geen eigen snijpunten heeft. In dit geval wordt de oppervlakte berekend met de volgende formule:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), waar (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
