Nummersystemen - wat is het? Zelfs zonder het antwoord op deze vraag te weten, gebruikt ieder van ons onvrijwillig nummersystemen in ons leven en vermoedt het niet. Juist, meervoud! Dat wil zeggen, niet één, maar meerdere. Voordat we voorbeelden geven van niet-positionele nummersystemen, laten we dit probleem begrijpen, laten we het ook hebben over positionele systemen.
Factuur nodig
Sinds de oudheid hadden mensen de behoefte om te tellen, dat wil zeggen, ze realiseerden zich intuïtief dat ze op de een of andere manier een kwantitatieve visie op dingen en gebeurtenissen moesten uitdrukken. De hersenen suggereerden dat het nodig was om voorwerpen te gebruiken om te tellen. Vingers zijn altijd het handigst geweest, en dit is begrijpelijk, omdat ze altijd beschikbaar zijn (met zeldzame uitzonderingen).
Dus de oude vertegenwoordigers van de mensheid moesten letterlijk hun vingers buigen - om bijvoorbeeld het aantal gedode mammoeten aan te geven. Dergelijke elementen van het account hadden nog geen namen, maar alleen een visuele afbeelding, een vergelijking.
Moderne positienummersystemen
Het nummersysteem is een methode (manier) om kwantitatieve waarden en hoeveelheden weer te geven met behulp van bepaalde tekens (symbolen of letters).
Het is noodzakelijk om te begrijpen wat positioneel en niet-positioneel is bij het tellen voordat je voorbeelden geeft van niet-positionele nummersystemen. Er zijn veel positionele nummersystemen. Nu wordt het volgende gebruikt in verschillende kennisgebieden: binair (bevat slechts twee significante elementen: 0 en 1), hexadecimaal (aantal tekens - 6), octaal (tekens - 8), twaalftallig (twaalf tekens), hexadecimaal (bevat zestien karakters). Bovendien begint elke rij karakters in de systemen bij nul. Moderne computertechnologieën zijn gebaseerd op het gebruik van binaire codes - het binaire positienummersysteem.
Decimaal getalsysteem
Positionaliteit is de aanwezigheid van significante posities in verschillende mate, waarop de tekens van het nummer zich bevinden. Dit kan het beste worden aangetoond aan de hand van het voorbeeld van het decimale getalsysteem. We zijn het immers van kinds af aan gewend om het te gebruiken. Er zijn tien tekens in dit systeem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Neem het getal 327. Het heeft drie tekens: 3, 2, 7. Elk van hen bevindt zich in zijn eigen positie (plaats). De zeven neemt de positie in die is gereserveerd voor enkele waarden (eenheden), de twee - tientallen en de drie - honderdtallen. Omdat het getal uit drie cijfers bestaat, zijn er daarom maar drie posities in.
Gebaseerd op het bovenstaande, diteen decimaal getal van drie cijfers kan als volgt worden beschreven: drie honderdtallen, twee tientallen en zeven eenheden. Bovendien wordt de significantie (belang) van posities geteld van links naar rechts, van een zwakke positie (één) naar een sterkere (honderden).
We voelen ons erg op ons gemak in het decimale positienummersysteem. We hebben tien vingers aan onze handen, en dezelfde aan onze voeten. Vijf plus vijf - dus dankzij de vingers kunnen we ons gemakkelijk een dozijn uit de kindertijd voorstellen. Daarom is het voor kinderen gemakkelijk om de tafels van vermenigvuldiging voor vijf en tien te leren. En het is ook zo gemakkelijk om bankbiljetten te leren tellen, die meestal veelvouden zijn (dat wil zeggen, gedeeld zonder rest) door vijf en tien.
Andere positienummersystemen
Tot verbazing van velen moet worden gezegd dat niet alleen in het decimale telsysteem, onze hersenen gewend zijn om wat berekeningen te doen. Tot nu toe heeft de mensheid zes- en twaalftallige getallenstelsels gebruikt. Dat wil zeggen, in een dergelijk systeem zijn er slechts zes tekens (in hexadecimaal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. In twaalftallige zijn er twaalf: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, waarbij A - staat voor het getal 10, B - het getal 11 (aangezien het teken één moet zijn).
Oordeel zelf. We tellen de tijd in zessen, nietwaar? Een uur is zestig minuten (zes tientallen), een dag is vierentwintig uur (twee keer twaalf), een jaar is twaalf maanden, enzovoort… Alle tijdsintervallen passen gemakkelijk in zes- en twaalftallige reeksen. Maar we zijn er zo aan gewend dat we er niet eens aan denken als we de tijd tellen.
Niet-positionele nummersystemen. Unair
Het is noodzakelijk om te definiëren wat het is - een niet-positioneel nummersysteem. Dit is zo'n tekensysteem waarbij er geen posities zijn voor de tekens van een cijfer, of het principe van het "lezen" van een cijfer niet afhankelijk is van de positie. Het heeft ook zijn eigen regels voor schrijven of rekenen.
Laten we voorbeelden geven van niet-positionele nummersystemen. Laten we teruggaan naar de oudheid. Mensen hadden een account nodig en kwamen met de eenvoudigste uitvinding: knopen. Het niet-positionele nummersysteem is nodulair. Eén item (een zak rijst, een stier, een hooiberg, enz.) werd bijvoorbeeld bij het kopen of verkopen geteld en aan een touwtje geknoopt.
Het resultaat was dat er evenveel knopen aan het touw werden gemaakt als er zakken rijst werden gekocht (bijvoorbeeld). Maar het kunnen ook inkepingen zijn op een houten stok, op een stenen plaat, enz. Een dergelijk nummerstelsel werd bekend als nodulair. Ze heeft een tweede naam - unair of single ("uno" in het Latijn betekent "één").
Het wordt duidelijk dat dit nummersysteem niet-positioneel is. Immers, over wat voor functies kunnen we praten als het (de functie) er maar één is! Vreemd genoeg is in sommige delen van de aarde het unaire niet-positionele nummersysteem nog steeds in gebruik.
Niet-positionele nummersystemen omvatten ook:
- Roman (letters worden gebruikt om cijfers te schrijven - Latijnse karakters);
- oud Egyptisch (vergelijkbaar met Romeins, symbolen werden ook gebruikt);
- alfabetisch (letters van het alfabet werden gebruikt);
- Babylonisch (spijkerschrift - gebruikt direct enomgekeerde "wig");
- Grieks (ook wel alfabetisch genoemd).
Romeins cijfersysteem
Het oude Romeinse rijk, evenals zijn wetenschap, was zeer vooruitstrevend. De Romeinen gaven de wereld veel nuttige uitvindingen van wetenschap en kunst, inclusief hun telsysteem. Tweehonderd jaar geleden werden Romeinse cijfers gebruikt om bedragen aan te duiden in zakelijke documenten (zo werd vervalsing vermeden).
Romeinse nummering is een voorbeeld van een niet-positioneel nummersysteem, we kennen het nu. Ook wordt het Romeinse systeem actief gebruikt, maar niet voor wiskundige berekeningen, maar voor eng gerichte acties. Zo is het gebruikelijk om met behulp van Romeinse cijfers historische data, eeuwen, nummers van volumes, paragrafen en hoofdstukken aan te duiden in boekpublicaties. Romeinse tekens worden vaak gebruikt om wijzerplaten te versieren. En ook Romeinse nummering is een voorbeeld van een niet-positioneel nummersysteem.
De Romeinen gaven cijfers met Latijnse letters. Bovendien schreven ze de getallen op volgens bepaalde regels. Er is een lijst met sleutelsymbolen in het Romeinse cijfersysteem, met behulp waarvan alle cijfers zonder uitzondering zijn geschreven.
| Getal (decimaal) | Romeins cijfer (letter van het Latijnse alfabet) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regels voor het samenstellen van getallen
Het vereiste aantal werd verkregen door tekens (Latijnse letters) toe te voegen en hun som te berekenen. Laten we eens kijken hoe tekens symbolisch worden geschreven in het Romeinse systeem en hoe ze moeten worden "gelezen". Laten we de belangrijkste wetten van getalvorming in het Romeinse niet-positionele getalsysteem opsommen.
- Het getal vier - IV, bestaat uit twee tekens (I, V - één en vijf). Het wordt verkregen door het kleinere teken af te trekken van het grotere als het aan de linkerkant staat. Als het kleinere bord aan de rechterkant staat, moet je toevoegen, dan krijg je het nummer zes - VI.
- Het is noodzakelijk om twee identieke tekens naast elkaar toe te voegen. Bijvoorbeeld: SS is 200 (C is 100), of XX is 20.
- Als het eerste teken van een getal kleiner is dan het tweede, dan kan het derde teken in deze rij een teken zijn waarvan de waarde nog kleiner is dan het eerste. Om verwarring te voorkomen, volgt hier een voorbeeld: CDX - 410 (in decimaal).
- Sommige grote getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, wat een van de nadelen is van het Romeinse telsysteem. Hier zijn enkele voorbeelden: MVM (Romeins)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimaal) of MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. En dat is niet alles.
Rekentrucs
Niet-positioneel nummersysteem is soms een complexe reeks regels voor de vorming van getallen, hun verwerking (acties erop). Rekenkundige bewerkingen in niet-positionele nummersystemen zijn niet eenvoudigvoor moderne mensen. We zijn niet jaloers op de oude Romeinse wiskundigen!
Voorbeeld van toevoeging. Laten we proberen twee getallen toe te voegen: XIX + XXVI=XXXV, deze taak wordt in twee stappen uitgevoerd:
- Eerst - neem en voeg de kleinere fracties van getallen toe: IX + VI=XV (I na V en I voor X "vernietigen" elkaar).
- Second - voeg grote breuken van twee getallen toe: X + XX=XXX.
Aftrekken is iets ingewikkelder. Het te verminderen getal moet worden verdeeld in zijn samenstellende elementen, en vervolgens moeten de dubbele tekens worden verminderd in het te verkleinen en af te trekken getal. Trek 263 af van 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Vermenigvuldiging van Romeinse cijfers. Tussen haakjes, het is noodzakelijk om te vermelden dat de Romeinen geen tekenen van rekenkundige bewerkingen hadden, ze gaven ze eenvoudigweg met woorden aan.
Het meervoudige getal moest worden vermenigvuldigd met elk afzonderlijk symbool van de vermenigvuldiger, wat resulteerde in verschillende producten die moesten worden toegevoegd. Dit is hoe polynomen worden vermenigvuldigd.
Wat betreft deling, dit proces in het Romeinse cijfersysteem was en blijft het moeilijkst. Het oude Romeinse telraam werd hier gebruikt. Om met hem samen te werken, werden mensen speciaal opgeleid (en niet iedereen slaagde erin een dergelijke wetenschap onder de knie te krijgen).
Over de nadelen van niet-positionele systemen
Zoals hierboven vermeld, hebben niet-positionele nummersystemen hun nadelen, ongemakken in gebruik. Unair is eenvoudig genoeg voor eenvoudig tellen, maar voor rekenkundige en complexe berekeningen nietgoed genoeg.
In het Romeins zijn er geen uniforme regels voor het vormen van grote getallen en ontstaat er verwarring, en het is ook erg moeilijk om er berekeningen in te maken. Ook was het grootste aantal dat de oude Romeinen met hun methode konden opschrijven 100.000.
