Inverse trigonometrische functies veroorzaken traditioneel problemen voor schoolkinderen. De mogelijkheid om de boogtangens van een getal te berekenen kan nodig zijn bij USE-taken in planimetrie en stereometrie. Om een vergelijking en een probleem met een parameter met succes op te lossen, moet u de eigenschappen van de boogtangensfunctie begrijpen.
Definitie
De boogtangens van een getal x is een getal y waarvan de raaklijn x is. Dit is de wiskundige definitie.
De arctangensfunctie wordt geschreven als y=arctg x.
Meer algemeen: y=Carctg (kx + a).
Berekening
Om te begrijpen hoe de inverse trigonometrische functie van de boogtangens werkt, moet je eerst onthouden hoe de waarde van de tangens van een getal wordt bepaald. Laten we eens nader kijken.
De tangens van x is de verhouding van de sinus van x tot de cosinus van x. Als ten minste één van deze twee grootheden bekend is, kan de modulus van de tweede worden verkregen uit de trigonometrische basisidentiteit:
sin2 x + cos2 x=1.
Toegegeven, er is een beoordeling nodig om de module te ontgrendelen.
Alshet getal zelf bekend is, en niet de trigonometrische kenmerken, dan is het in de meeste gevallen nodig om de tangens van het getal bij benadering te schatten door te verwijzen naar de Bradis-tabel.
Uitzonderingen zijn de zogenaamde standaardwaarden.
Ze worden weergegeven in de volgende tabel:
In aanvulling op het bovenstaande kunnen alle waarden die uit de gegevens worden verkregen door een getal van de vorm ½πк toe te voegen (к - elk geheel getal, π=3, 14) als standaard worden beschouwd.
Precies hetzelfde geldt voor de boogtangens: meestal is de geschatte waarde te zien in de tabel, maar slechts een paar waarden zijn zeker bekend:
In de praktijk is het bij het oplossen van problemen met schoolwiskunde gebruikelijk om een antwoord te geven in de vorm van een uitdrukking die de boogtangens bevat, en niet de geschatte schatting. Bijvoorbeeld arctg 6, arctg (-¼).
Een grafiek plotten
Aangezien de tangens elke waarde kan aannemen, is het domein van de arctangensfunctie de gehele getallenlijn. Laten we het in meer detail uitleggen.
Dezelfde raaklijn komt overeen met een oneindig aantal argumenten. Bijvoorbeeld, niet alleen de tangens van nul is gelijk aan nul, maar ook de tangens van een willekeurig getal van de vorm π k, waarbij k een geheel getal is. Daarom kwamen wiskundigen overeen om waarden voor de boogtangens te kiezen uit het interval van -½ π tot ½ π. Het moet op deze manier worden begrepen. Het bereik van de boogtangensfunctie is het interval (-½ π; ½ π). De uiteinden van de opening zijn niet opgenomen, omdat de tangens -½p en ½p niet bestaan.
Op het gespecificeerde interval is de raaklijn continuneemt toe. Dit betekent dat de inverse functie van de boogtangens ook continu toeneemt op de gehele getallenlijn, maar begrensd van boven en onder. Als resultaat heeft het twee horizontale asymptoten: y=-½ π en y=½ π.
In dit geval, tg 0=0, andere snijpunten met de as van de abscis, behalve (0;0), kan de grafiek niet toenemen.
Zoals volgt uit de pariteit van de tangensfunctie, heeft de arctangens een vergelijkbare eigenschap.
Om een grafiek te maken, neem je een aantal punten uit de standaardwaarden:
De afgeleide van de functie y=arctg x op een willekeurig punt wordt berekend met de formule:
Merk op dat zijn afgeleide overal positief is. Dit komt overeen met de eerder gemaakte conclusie over de continue toename van de functie.
De tweede afgeleide van de boogtangens verdwijnt op punt 0, is negatief voor positieve waarden van het argument en vice versa.
Dit betekent dat de grafiek van de boogtangensfunctie een buigpunt op nul heeft en neerwaarts convex is op het interval (-∞; 0] en opwaarts convex op het interval [0; +∞).
