Het vermogen om het volume van ruimtelijke figuren te bepalen is belangrijk voor het oplossen van geometrische en praktische problemen. Een van deze figuren is een prisma. We zullen in het artikel bekijken wat het is en laten zien hoe we het volume van een hellend prisma kunnen berekenen.
Wat wordt bedoeld met een prisma in de meetkunde?
Dit is een regelmatig veelvlak (veelvlak), dat wordt gevormd door twee identieke basen in parallelle vlakken, en verschillende parallellogrammen die de gemarkeerde basen verbinden.
Prismabases kunnen willekeurige veelhoeken zijn, zoals driehoek, vierhoek, zevenhoek, enzovoort. Bovendien bepa alt het aantal hoeken (zijden) van de veelhoek de naam van de figuur.
Elk prisma met een n-gon basis (n is het aantal zijden) bestaat uit n+2 vlakken, 2 × n hoekpunten en 3 × n randen. Uit de gegeven getallen blijkt dat het aantal elementen van het prisma overeenkomt met de stelling van Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
De onderstaande afbeelding laat zien hoe driehoekige en vierhoekige prisma's van glas eruit zien.
Soorten figuren. Gekanteld prisma
Er is hierboven al gezegd dat de naam van een prisma wordt bepaald door het aantal zijden van de veelhoek aan de basis. Er zijn echter andere kenmerken in de structuur die de eigenschappen van de figuur bepalen. Dus als alle parallellogrammen die het zijoppervlak van het prisma vormen, worden weergegeven door rechthoeken of vierkanten, dan wordt zo'n figuur een rechte lijn genoemd. Voor een recht prisma is de afstand tussen de bases gelijk aan de lengte van de zijrand van een rechthoek.
Als sommige of alle zijden parallellogrammen zijn, hebben we het over een hellend prisma. De hoogte zal al minder zijn dan de lengte van de zijrib.
Een ander criterium waarmee de betreffende figuren worden geclassificeerd, is de lengte van de zijden en de hoeken van de veelhoek aan de basis. Als ze gelijk zijn aan elkaar, dan is de veelhoek correct. Een rechte figuur met een regelmatige veelhoek aan de basis wordt regelmatig genoemd. Het is handig om ermee te werken bij het bepalen van de oppervlakte en het volume. Een hellend prisma levert in dit opzicht enkele moeilijkheden op.
De onderstaande afbeelding toont twee prisma's met een vierkante basis. De hoek van 90° toont het fundamentele verschil tussen een recht en een schuin prisma.
Formule voor het bepalen van het volume van een figuur
Een deel van de ruimte dat wordt begrensd door de vlakken van een prisma, wordt het volume genoemd. Voor de beschouwde figuren van elk type kan deze waarde worden bepaald door de volgende formule:
V=h × So
Hier geeft het symbool h de hoogte van het prisma aan,dat is een maat voor de afstand tussen twee basen. Symbool So- één basisvierkant.
Het basisgebied is gemakkelijk te vinden. Gezien het feit of de veelhoek regelmatig is of niet, en als je het aantal zijden kent, moet je de juiste formule toepassen en So krijgen. Voor een regelmatige n-hoek met zijdelengte a is de oppervlakte bijvoorbeeld:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Laten we nu verder gaan met hoogte h. Voor een recht prisma is het bepalen van de hoogte niet moeilijk, maar voor een schuin prisma is dit geen gemakkelijke opgave. Het kan worden opgelost door verschillende geometrische methoden, uitgaande van specifieke beginvoorwaarden. Er is echter een universele manier om de hoogte van een figuur te bepalen. Laten we het kort beschrijven.
Het idee is om de afstand van een punt in de ruimte tot een vlak te vinden. Neem aan dat het vlak wordt gegeven door de vergelijking:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Dan is het vliegtuig op een afstand:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Als de coördinaatassen zo zijn gerangschikt dat het punt (0; 0; 0) in het vlak van de onderste basis van het prisma ligt, dan kan de vergelijking voor het basisvlak als volgt worden geschreven:
z=0
Dit betekent dat de formule voor de hoogte wordt geschrevendus:
h=z1
Het is voldoende om de z-coördinaat van een willekeurig punt van de bovenste basis te vinden om de hoogte van de figuur te bepalen.
Voorbeeld van probleemoplossing
De onderstaande afbeelding toont een vierhoekig prisma. De basis van een hellend prisma is een vierkant met een zijde van 10 cm Het is noodzakelijk om het volume te berekenen als bekend is dat de lengte van de zijrand 15 cm is en de scherpe hoek van het frontale parallellogram 70 ° is.
Omdat de hoogte h van de figuur ook de hoogte van het parallellogram is, gebruiken we formules om de oppervlakte te bepalen om h te vinden. Laten we de zijden van het parallellogram als volgt aanduiden:
a=10cm;
b=15cm
Dan kun je de volgende formules schrijven om de oppervlakte te bepalen Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Waar komen we vandaan:
h=b × sin (α)
Hier is α een scherpe hoek van het parallellogram. Aangezien de basis een vierkant is, zal de formule voor het volume van een hellend prisma de vorm aannemen:
V=a2 × b × sin (α)
We vervangen de gegevens van de voorwaarde in de formule en krijgen het antwoord: V ≈ 1410 cm3.
