Vaak heb je bij het bestuderen van natuurlijke fenomenen, chemische en fysische eigenschappen van verschillende stoffen, en bij het oplossen van complexe technische problemen, te maken met processen waarvan het kenmerkende kenmerk periodiciteit is, dat wil zeggen de neiging om na een bepaalde tijd te herhalen periode. Om een dergelijke cycliciteit in de wetenschap te beschrijven en grafisch weer te geven, is er een speciaal type functie - een periodieke functie.
Het eenvoudigste en meest begrijpelijke voorbeeld is de omwenteling van onze planeet rond de zon, waarbij de onderlinge afstand, die voortdurend verandert, onderhevig is aan jaarlijkse cycli. Op dezelfde manier keert het turbineblad terug naar zijn plaats, nadat het een volledige omwenteling heeft gemaakt. Al dergelijke processen kunnen worden beschreven door zo'n wiskundige grootheid als een periodieke functie. Over het algemeen is onze hele wereld cyclisch. Dit betekent dat de periodieke functie ook een belangrijke plaats inneemt in het menselijke coördinatenstelsel.
De behoefte van wiskunde aan get altheorie, topologie, differentiaalvergelijkingen en exacte geometrische berekeningen leidde in de negentiende eeuw tot de opkomst van een nieuwe categorie functies met ongebruikelijke eigenschappen. Het werden periodieke functies die op bepaalde punten identieke waarden aannemen als gevolg van complexe transformaties. Nu worden ze gebruikt in vele takken van wiskunde en andere wetenschappen. Bijvoorbeeld bij het bestuderen van verschillende oscillerende effecten in de golffysica.
Verschillende wiskundige leerboeken geven verschillende definities van een periodieke functie. Ongeacht deze verschillen in formuleringen zijn ze echter allemaal equivalent, omdat ze dezelfde eigenschappen van de functie beschrijven. De meest eenvoudige en begrijpelijke is wellicht de volgende definitie. Functies waarvan de numerieke indicatoren niet veranderen als een bepaald getal anders dan nul wordt toegevoegd aan hun argument, de zogenaamde periode van de functie, aangeduid met de letter T, worden periodiek genoemd. Wat betekent het allemaal in de praktijk?
Bijvoorbeeld een eenvoudige functie van de vorm: y=f(x) wordt periodiek als X een bepaalde periodewaarde (T) heeft. Uit deze definitie volgt dat als de numerieke waarde van een functie met een punt (T) wordt bepaald op een van de punten (x), de waarde ook bekend wordt in de punten x + T, x - T. Het belangrijke punt hier is dat wanneer T gelijk is aan nul, de functie verandert in een identiteit. Een periodieke functie kan een oneindig aantal verschillende perioden hebben. BIJIn de meeste gevallen is er onder de positieve waarden van T een periode met de kleinste numerieke indicator. Het wordt de hoofdperiode genoemd. En alle andere waarden van T zijn altijd veelvouden ervan. Dit is een andere interessante en zeer belangrijke eigenschap voor verschillende wetenschapsgebieden.
De grafiek van een periodieke functie heeft ook verschillende kenmerken. Als T bijvoorbeeld de hoofdperiode van de uitdrukking is: y \u003d f (x), dan volstaat het om bij het plotten van deze functie een vertakking op een van de intervallen van de periodelengte te plotten en deze vervolgens te verplaatsen de x-as naar de volgende waarden: ±T, ±2T, ±3T enzovoort. Concluderend moet worden opgemerkt dat niet elke periodieke functie een hoofdperiode heeft. Een klassiek voorbeeld hiervan is de volgende functie van de Duitse wiskundige Dirichlet: y=d(x).
