Als je de afstand van een punt tot een vlak of tot een rechte lijn kent, kun je het volume en het oppervlak van figuren in de ruimte berekenen. De berekening van deze afstand in geometrie wordt uitgevoerd met behulp van de overeenkomstige vergelijkingen voor de gespecificeerde geometrische objecten. In het artikel laten we zien welke formules kunnen worden gebruikt om dit te bepalen.
Lijn- en vlakvergelijkingen
Voordat we formules geven voor het bepalen van de afstand van een punt tot een vlak en tot een lijn, laten we zien welke vergelijkingen deze objecten beschrijven.
Om een punt te definiëren, wordt een set coördinaten in het gegeven systeem van coördinaatassen gebruikt. Hier zullen we alleen het Cartesiaanse rechthoeksysteem beschouwen waarin de assen dezelfde eenheidsvectoren hebben en onderling loodrecht staan. Op een vlak wordt een willekeurig punt beschreven door twee coördinaten, in de ruimte door drie.
Verschillende soorten vergelijkingen worden gebruikt om een rechte lijn te definiëren. In overeenstemming met het onderwerp van het artikel presenteren we:slechts twee ervan, die in de tweedimensionale ruimte worden gebruikt om lijnen te definiëren.
Vector vergelijking. Het heeft de volgende notatie:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
De eerste term hier vertegenwoordigt de coördinaten van een bekend punt dat op de lijn ligt. De tweede term is de richtingsvectorcoördinaten vermenigvuldigd met een willekeurig getal λ.
Algemene vergelijking. De notatie is als volgt:
Ax + By + C=0;
waarbij A, B, C enkele coëfficiënten zijn.
De algemene vergelijking wordt vaker gebruikt om lijnen op een vlak te bepalen, maar om de afstand van een punt tot een lijn op een vlak te vinden, is het handiger om met een vectoruitdrukking te werken.
Een vlak in een driedimensionale ruimte kan ook op verschillende wiskundige manieren worden geschreven. Niettemin is er bij problemen meestal een algemene vergelijking, die als volgt wordt geschreven:
Ax + By + Cz + D=0.
Het voordeel van deze notatie ten opzichte van de andere is dat het expliciet de coördinaten bevat van een vector loodrecht op het vlak. Deze vector wordt er een gids voor genoemd, hij v alt samen met de richting van de normaal en zijn coördinaten zijn gelijk aan (A; B; C).
Merk op dat de bovenstaande uitdrukking samenv alt met de vorm van het schrijven van een algemene vergelijking voor een rechte lijn in een tweedimensionale ruimte, dus bij het oplossen van problemen moet je oppassen dat je deze geometrische objecten niet verwart.
Afstand tussen punt en lijn
Laten we laten zien hoe we de afstand tussen een rechte lijn en. kunnen berekenenpunt in tweedimensionale ruimte.
Laat er een punt zijn Q(x1; y1) en een lijn gegeven door:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
De afstand tussen een lijn en een punt wordt begrepen als de lengte van een lijnstuk loodrecht op deze lijn, erop neergelaten vanaf het punt Q.
Voordat u deze afstand berekent, moet u de Q-coördinaten in deze vergelijking vervangen. Als ze daaraan voldoen, dan hoort Q bij de gegeven lijn en is de bijbehorende afstand gelijk aan nul. Als de coördinaten van het punt niet tot gelijkheid leiden, is de afstand tussen meetkundige objecten niet nul. Het kan worden berekend met behulp van de formule:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Hier is P een willekeurig punt van de rechte lijn, die het begin is van de vector PQ¯. De vector u¯ is een gidssegment voor een rechte lijn, dat wil zeggen, de coördinaten zijn (a; b).
Het gebruik van deze formule vereist de mogelijkheid om het uitwendige product in de teller te berekenen.
Probleem met een punt en een lijn
Stel dat je de afstand moet vinden tussen Q(-3; 1) en een rechte lijn die voldoet aan de vergelijking:
y=5x -2.
Door de coördinaten van Q in de uitdrukking in te vullen, kunnen we ervoor zorgen dat Q niet op de lijn ligt. U kunt de formule voor d in de bovenstaande alinea toepassen als u deze vergelijking in vectorvorm weergeeft. Laten we het zo doen:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Laten we nu een willekeurig punt op deze lijn nemen, bijvoorbeeld (0; -2), en een vector bouwen die begint en eindigt bij Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Pas nu de formule toe om de afstand te bepalen, we krijgen:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Afstand van punt tot vliegtuig
Zoals in het geval van een rechte lijn, wordt de afstand tussen een vlak en een punt in de ruimte begrepen als de lengte van het segment, dat vanaf een bepaald punt loodrecht op het vlak neergelaten wordt en het snijdt.
In de ruimte wordt een punt gegeven door drie coördinaten. Als ze gelijk zijn aan (x1; y1; z1), dan is de afstand tussen de vlak en dat punt kan worden berekend met de formule:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Merk op dat je met de formule alleen de afstand van het vlak tot de lijn kunt vinden. Om de coördinaten te vinden van het punt waarop een loodrecht segment een vlak snijdt, is het nodig om een vergelijking te schrijven voor de lijn waartoe dit segment behoort, en dan een gemeenschappelijk punt te vinden voor deze lijn en een bepaald vlak.
Probleem met een vliegtuig en een punt
Zoek de afstand van een punt tot een vlak als het bekend is dat het punt coördinaten (3; -1; 2) heeft en het vlak wordt gegeven door:
-y + 3z=0.
Om de bijbehorende formule te gebruiken, schrijven we eerst de coëfficiënten voorvliegtuig gegeven. Omdat de variabele x en de vrije term ontbreken, zijn de coëfficiënten A en D gelijk aan nul. We hebben:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit vlak door de oorsprong gaat en dat de x-as erbij hoort.
Vervang de coördinaten van het punt en de coëfficiënten van het vlak in de formule voor de afstand d, we krijgen:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Merk op dat als je de x-coördinaat van een punt verandert, de afstand d niet verandert. Dit feit betekent dat de verzameling punten (x; -1; 2) een rechte lijn vormt evenwijdig aan het gegeven vlak.
