Vaak worden we in het leven geconfronteerd met de noodzaak om de kans op een gebeurtenis in te schatten. Of het nu de moeite waard is om een lot te kopen of niet, wat het geslacht zal zijn van het derde kind in het gezin, of het morgen helder weer is of het weer gaat regenen - er zijn talloze van dergelijke voorbeelden. In het eenvoudigste geval moet u het aantal gunstige uitkomsten delen door het totale aantal gebeurtenissen. Als er 10 winnende loten in de loterij zijn, en er zijn er 50 in totaal, dan is de kans om een prijs te krijgen 10/50=0,2, dat wil zeggen 20 tegen 100. Maar wat als er meerdere evenementen zijn en ze dicht bij elkaar liggen? verwant? In dit geval zijn we niet langer geïnteresseerd in eenvoudige, maar in voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Wat deze waarde is en hoe deze kan worden berekend - dit wordt besproken in ons artikel.
Concept
Voorwaardelijke kans is de kans dat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt, gegeven het feit dat er al een andere gerelateerde gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Beschouw een eenvoudig voorbeeld meteen munt opgooien. Als er nog geen gelijkspel is geweest, dan is de kans op kop of munt gelijk. Maar als de munt vijf keer op rij met het wapen omhoog zou liggen, stem er dan mee in om de 6e, 7e en zelfs meer de 10e herhaling van zo'n uitkomst te verwachten, zou onlogisch zijn. Met elke herhaalde kop wordt de kans groter dat er staarten verschijnen en vroeg of laat zal het eruit vallen.
Voorwaardelijke kansformule
Laten we nu uitzoeken hoe deze waarde wordt berekend. Laten we de eerste gebeurtenis als B aanduiden en de tweede als A. Als de kans op optreden van B verschillend is van nul, dan is de volgende gelijkheid geldig:
P (A|B)=P (AB) / P (B), waarbij:
- P (A|B) – voorwaardelijke kans op uitkomst A;
- P (AB) - de waarschijnlijkheid van gezamenlijk optreden van gebeurtenissen A en B;
- P (B) – kans op gebeurtenis B.
Als we deze verhouding iets transformeren, krijgen we P (AB)=P (A|B)P (B). En als we de methode van inductie toepassen, dan kunnen we de productformule afleiden en gebruiken voor een willekeurig aantal gebeurtenissen:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Oefen
Om het gemakkelijker te maken te begrijpen hoe de voorwaardelijke kans op een gebeurtenis wordt berekend, laten we een paar voorbeelden bekijken. Stel dat er een vaas is met 8 chocolaatjes en 7 pepermuntjes. Ze zijn even groot en willekeurig.er worden er twee achter elkaar uitgetrokken. Hoe groot is de kans dat ze allebei chocolade zijn? Laten we notatie introduceren. Laat het resultaat A betekenen dat het eerste snoepje chocolade is, het resultaat B is het tweede chocoladesnoepje. Dan krijg je het volgende:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Laten we nog een geval bekijken. Stel dat er een gezin is met twee kinderen en we weten dat ten minste één kind een meisje is.
Wat is de voorwaardelijke kans dat deze ouders nog geen jongens hebben? Net als in het vorige geval beginnen we met de notatie. Laat P(B) de kans zijn dat er minstens één meisje in het gezin is, P(A|B) de kans dat het tweede kind ook een meisje is, P(AB) de kans dat er twee meisjes in de familie. Laten we nu de berekeningen doen. In totaal kunnen er 4 verschillende combinaties van het geslacht van kinderen zijn, en in dit geval zal er slechts in één geval (wanneer er twee jongens in het gezin zijn) geen meisje onder de kinderen zijn. Daarom is de kans P (B)=3/4 en P (AB)=1/4. Dan krijgen we volgens onze formule:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Het resultaat kan als volgt worden geïnterpreteerd: als we het geslacht van een van de kinderen niet zouden weten, dan zouden de kansen van twee meisjes 25 tegen 100 zijn. Maar aangezien we weten dat één kind een meisje is, kans dat het gezin van jongens nee, toeneemt tot een derde.
