Wat is rekenen? Wanneer begon de mensheid cijfers te gebruiken en ermee te werken? Waar gaan de wortels van alledaagse concepten als getallen, breuken, aftrekken, optellen en vermenigvuldigen, die een persoon een onlosmakelijk onderdeel van zijn leven en wereldbeeld heeft gemaakt, naartoe? Oude Griekse geesten bewonderden wetenschappen zoals wiskunde, rekenen en meetkunde als de mooiste symfonieën van de menselijke logica.
Misschien is rekenen niet zo diep als andere wetenschappen, maar wat zou er met hen gebeuren als iemand de elementaire tafel van vermenigvuldiging vergeet? Het voor ons gebruikelijke logisch denken, het gebruik van getallen, breuken en andere hulpmiddelen, was niet gemakkelijk voor mensen en was lange tijd ontoegankelijk voor onze voorouders. In feite was geen enkel gebied van menselijke kennis vóór de ontwikkeling van de rekenkunde echt wetenschappelijk.
Rekenen is het ABC van de wiskunde
Rekenen is de wetenschap van getallen, waarmee iedereen kennis begint te maken met de fascinerende wereld van de wiskunde. Zoals M. V. Lomonosov zei, is rekenen de poort tot leren, en opent het de weg naar wereldkennis voor ons. Maar hij heeft gelijkIs de kennis van de wereld te scheiden van de kennis van cijfers en letters, wiskunde en spraak? Misschien vroeger, maar niet in de moderne wereld, waar de snelle ontwikkeling van wetenschap en technologie zijn eigen wetten dicteert.
Het woord "rekenkunde" (Grieks "arithmos") van Griekse oorsprong, betekent "getal". Ze bestudeert getallen en alles wat daarmee in verband kan worden gebracht. Dit is de wereld van getallen: verschillende bewerkingen op getallen, numerieke regels, problemen oplossen die te maken hebben met vermenigvuldigen, aftrekken, enz.
Het is algemeen aanvaard dat rekenen de eerste stap van de wiskunde is en een solide basis vormt voor de meer complexe onderdelen ervan, zoals algebra, wiskundige analyse, hogere wiskunde, enz.
Hoofdobject van de rekenkunde
De basis van de rekenkunde is een geheel getal, waarvan de eigenschappen en patronen worden beschouwd in hogere rekenkunde of get altheorie. In feite hangt de sterkte van het hele gebouw - wiskunde - af van hoe correct de benadering is om zo'n klein blok als een natuurlijk getal te beschouwen.
Daarom kan de vraag wat rekenen is eenvoudig worden beantwoord: het is de wetenschap van getallen. Ja, ongeveer de gebruikelijke zeven, negen en al deze diverse gemeenschap. En net zoals je geen goede of zelfs de meest middelmatige poëzie kunt schrijven zonder een elementair alfabet, kun je zelfs geen elementair probleem oplossen zonder rekenen. Dat is de reden waarom alle wetenschappen pas vooruitgingen na de ontwikkeling van rekenkunde en wiskunde, daarvoor waren het slechts een reeks aannames.
Rekenen is een fantoomwetenschap
Wat is rekenen - natuurwetenschap of fantoom? In feite, zoals de oude Griekse filosofen betoogden, bestaan er in werkelijkheid geen getallen of cijfers. Dit is slechts een fantoom dat in het menselijk denken wordt gecreëerd als we kijken naar de omgeving met zijn processen. Inderdaad, wat is een getal? Nergens in de buurt zien we zoiets dat een getal zou kunnen worden genoemd, maar een getal is een manier van de menselijke geest om de wereld te bestuderen. Of is het misschien de studie van onszelf van binnenuit? Filosofen discussiëren hier al eeuwen achter elkaar over, dus we nemen ons niet voor om hier een uitputtend antwoord op te geven. Op de een of andere manier is de rekenkunde erin geslaagd zijn plaats zo stevig in te nemen dat in de moderne wereld niemand als sociaal aangepast kan worden beschouwd zonder de basis ervan te kennen.
Hoe is het natuurlijke getal ontstaan
Natuurlijk is het belangrijkste object waarop rekenen werkt een natuurlijk getal, zoals 1, 2, 3, 4, …, 152… enz. De rekenkunde van natuurlijke getallen is het resultaat van het tellen van gewone voorwerpen, zoals koeien in een weiland. Toch paste de definitie van "veel" of "weinig" eens niet bij mensen, en ze moesten meer geavanceerde teltechnieken uitvinden.
Maar de echte doorbraak vond plaats toen het menselijk denken het punt bereikte dat het mogelijk is om 2 kilogram en 2 stenen en 2 delen aan te duiden met hetzelfde nummer "twee". Het feit is dat je moet abstraheren van de vormen, eigenschappen en betekenis van objecten, dan kun je enkele acties met deze objecten uitvoeren in de vorm van natuurlijke getallen. Zo werd de rekenkunde van getallen geboren, dieverder ontwikkeld en uitgebreid, steeds grotere posities innemend in het leven van de samenleving.
Zulke diepgaande concepten van getallen als nul en negatief getal, breuken, aanduidingen van getallen door getallen en op andere manieren, hebben een rijke en interessante geschiedenis van ontwikkeling.
Rekenkundige en praktische Egyptenaren
De twee oudste menselijke metgezellen bij het verkennen van de wereld om ons heen en het oplossen van alledaagse problemen zijn rekenen en meetkunde.
Er wordt aangenomen dat de geschiedenis van de rekenkunde zijn oorsprong vindt in het Oude Oosten: in India, Egypte, Babylon en China. Zo stamt de Rinda-papyrus van Egyptische oorsprong (zo genoemd omdat hij toebehoorde aan de eigenaar met dezelfde naam), daterend uit de 20e eeuw. BC bevat, naast andere waardevolle gegevens, de uitbreiding van één breuk in de som van breuken met verschillende noemers en een teller die gelijk is aan één.
Bijvoorbeeld: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Maar wat is het nut van zo'n complexe ontbinding? Feit is dat de Egyptische benadering geen abstracte gedachten over getallen tolereerde, integendeel, berekeningen werden alleen voor praktische doeleinden gemaakt. Dat wil zeggen, de Egyptenaar zal zich bezighouden met zoiets als berekeningen, alleen om bijvoorbeeld een graf te bouwen. Het was noodzakelijk om de lengte van de rand van de structuur te berekenen, en dit dwong een persoon om achter de papyrus te gaan zitten. Zoals je kunt zien, werd de Egyptische vooruitgang in berekeningen eerder veroorzaakt door massaconstructie dan door liefde voor wetenschap.
Om deze reden kunnen de berekeningen op de papyri geen reflecties worden genoemd over het onderwerp breuken. Hoogstwaarschijnlijk is dit een praktische voorbereiding die in de toekomst heeft geholpen.problemen met breuken oplossen. De oude Egyptenaren, die de tafels van vermenigvuldiging niet kenden, maakten nogal lange berekeningen, uiteenlopend in vele deeltaken. Misschien is dit een van die subtaken. Het is gemakkelijk in te zien dat berekeningen met dergelijke werkstukken erg bewerkelijk en weinig belovend zijn. Misschien zien we daarom de grote bijdrage van het oude Egypte aan de ontwikkeling van de wiskunde niet.
Het oude Griekenland en filosofische rekenen
Veel kennis van het Oude Oosten werd met succes beheerst door de oude Grieken, beroemde liefhebbers van abstracte, abstracte en filosofische reflecties. Ze waren niet minder geïnteresseerd in de praktijk, maar het is moeilijk om de beste theoretici en denkers te vinden. Dit heeft de wetenschap geprofiteerd, aangezien het onmogelijk is om in de rekenkunde te duiken zonder deze los te koppelen van de realiteit. Natuurlijk kun je 10 koeien en 100 liter melk vermenigvuldigen, maar je komt niet ver.
De diepdenkende Grieken hebben een belangrijk stempel gedrukt op de geschiedenis, en hun geschriften zijn tot ons gekomen:
- Euclide en de elementen.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
En natuurlijk waren de Grieken, die alles in filosofie veranderden, en vooral de opvolgers van het werk van Pythagoras, zo gefascineerd door cijfers dat ze ze als het mysterie van de harmonie van de wereld beschouwden. Nummers zijn zodanig bestudeerd en onderzocht dat sommige van hen en hun paren speciale eigenschappen hebben gekregen. Bijvoorbeeld:
- Perfecte getallen zijn getallen die gelijk zijn aan de som van al hun delers, behalve het getal zelf (6=1+2+3).
- Vriendelijke nummers zijn die nummers, waarvan er éénis gelijk aan de som van alle delers van de tweede, en vice versa (de Pythagoreeërs kenden slechts één zo'n paar: 220 en 284).
De Grieken, die geloofden dat wetenschap bemind moest worden, en niet om winst te maken, boekten grote successen door te onderzoeken, te spelen en getallen op te tellen. Opgemerkt moet worden dat niet al hun onderzoek op grote schaal werd gebruikt, sommige bleven alleen "voor schoonheid".
Oosterse denkers van de Middeleeuwen
Op dezelfde manier dankt de rekenkunde in de middeleeuwen zijn ontwikkeling aan oosterse tijdgenoten. De Indianen gaven ons de getallen die we actief gebruiken, een concept als 'nul', en de positionele versie van de calculus, bekend bij de moderne perceptie. Van Al-Kashi, die in de 15e eeuw in Samarkand werkte, hebben we decimale breuken geërfd, zonder welke het moeilijk is om moderne rekenkunde voor te stellen.
In veel opzichten werd Europa's kennismaking met de prestaties van het Oosten mogelijk dankzij het werk van de Italiaanse wetenschapper Leonardo Fibonacci, die het werk "The Book of the Abacus" schreef, waarin oosterse innovaties werden geïntroduceerd. Het werd de hoeksteen van de ontwikkeling van algebra en rekenen, onderzoek en wetenschappelijke activiteiten in Europa.
Russische rekenkunde
En ten slotte begon de rekenkunde, die zijn plaats vond en wortel schoot in Europa, zich te verspreiden naar Russische landen. De eerste Russische rekenkunde werd gepubliceerd in 1703 - het was een boek over rekenen door Leonty Magnitsky. Het bleef lange tijd het enige leerboek in de wiskunde. Het bevat de beginmomenten van algebra en meetkunde. De getallen die in de voorbeelden van het eerste rekenkundige leerboek in Rusland worden gebruikt, zijn Arabisch. Hoewel Arabische cijfers eerder zijn gezien, op gravures die teruggaan tot de 17e eeuw.
Het boek zelf is versierd met afbeeldingen van Archimedes en Pythagoras, en op het eerste blad - de afbeelding van rekenen in de vorm van een vrouw. Ze zit op een troon, onder haar staat in het Hebreeuws een woord geschreven dat de naam van God aanduidt, en op de treden die naar de troon leiden, zijn de woorden "deling", "vermenigvuldiging", "toevoeging", enz. gegraveerd. die nu als alledaags worden beschouwd.
Een leerboek van 600 pagina's behandelt zowel basisprincipes als de optel- en vermenigvuldigingstabellen en toepassingen voor navigatiewetenschappen.
Het is niet verwonderlijk dat de auteur afbeeldingen van Griekse denkers koos voor zijn boek, omdat hij zelf gefascineerd was door de schoonheid van rekenen en zei: "Rekenen is de teller, er is kunst eerlijk, niet benijdenswaardig …". Deze benadering van rekenen is volkomen gerechtvaardigd, omdat het de wijdverbreide introductie ervan is die kan worden beschouwd als het begin van de snelle ontwikkeling van het wetenschappelijk denken in Rusland en het algemeen onderwijs.
Priemgetallen ongedaan maken
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat slechts 2 positieve delers heeft: 1 en zichzelf. Alle andere getallen, behalve 1 worden samengesteld genoemd. Voorbeelden van priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11 en alle andere die geen andere delers hebben dan 1 en zichzelf.
Wat betreft het nummer 1, het staat op een speciale rekening - er is een afspraak dat het niet als eenvoudig of samengesteld moet worden beschouwd. Op het eerste gezicht eenvoudig, een eenvoudig getal verbergt veel onopgeloste mysteries in zichzelf.
De stelling van Euclides zegt dat er een oneindig aantal priemgetallen is, en Eratosthenes vond een speciale rekenkundige "zeef" uit die niet-priemgetallen elimineert, zodat er alleen eenvoudige overblijven.
De essentie is om het eerste niet-doorgestreepte getal te onderstrepen en vervolgens de veelvouden ervan door te strepen. We herhalen deze procedure vele malen - en we krijgen een tabel met priemgetallen.
De fundamentele stelling van de rekenkunde
Onder de waarnemingen over priemgetallen moet de fundamentele stelling van de rekenkunde op een speciale manier worden vermeld.
De fundamentele stelling van de rekenkunde zegt dat elk geheel getal groter dan 1 een priemgetal is, of op een unieke manier kan worden ontleed in een product van priemgetallen tot aan de volgorde van de factoren.
De belangrijkste stelling van de rekenkunde is nogal omslachtig gebleken, en het begrijpen ervan lijkt niet langer de eenvoudigste basis.
Op het eerste gezicht zijn priemgetallen een elementair concept, maar dat zijn ze niet. De natuurkunde beschouwde het atoom ooit ook als elementair, totdat het het hele universum erin vond. Een prachtig verhaal van wiskundige Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" is gewijd aan priemgetallen.
Van "drie appels" naar deductieve wetten
Wat echt de versterkte basis van alle wetenschap kan worden genoemd, zijn de wetten van de rekenkunde. Zelfs in de kindertijd wordt iedereen geconfronteerd met rekenen, het bestuderen van het aantal benen en armen van poppen,het aantal blokjes, appels, enz. Dit is hoe we rekenen bestuderen, wat vervolgens in complexere regels gaat.
Ons hele leven maken we kennis met de rekenregels, die voor de gewone man de nuttigste zijn geworden van alles wat de wetenschap te bieden heeft. De studie van getallen is "rekenkunde-baby", die een persoon in de vroege kinderjaren kennis laat maken met de wereld van getallen in de vorm van getallen.
Hogere rekenkunde is een deductieve wetenschap die de wetten van de rekenkunde bestudeert. We kennen de meeste van hen, hoewel we hun exacte bewoordingen misschien niet kennen.
De wet van optellen en vermenigvuldigen
Twee willekeurige natuurlijke getallen a en b kunnen worden uitgedrukt als een som a+b, wat ook een natuurlijk getal zal zijn. De volgende wetten zijn van toepassing op toevoeging:
- Commutatief, wat zegt dat de som niet verandert door de herschikking van termen, of a+b=b+a.
- Associatief, wat zegt dat de som niet afhangt van de manier waarop de termen op plaatsen zijn gegroepeerd, of a+(b+c)=(a+ b)+ c.
De rekenregels, zoals optellen, behoren tot de meest elementaire, maar ze worden door alle wetenschappen gebruikt, om nog maar te zwijgen van het dagelijks leven.
Twee willekeurige natuurlijke getallen a en b kunnen worden uitgedrukt als een product ab of ab, wat ook een natuurlijk getal is. Voor het product gelden dezelfde commutatieve en associatieve wetten als voor optellen:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Ik vraag me afdat er een wet is die optellen en vermenigvuldigen verenigt, ook wel distributieve of distributieve wet genoemd:
a(b+c)=ab+ac
Deze wet leert ons om met haakjes te werken door ze uit te breiden, zodat we met complexere formules kunnen werken. Dit zijn de wetten die ons door de bizarre en complexe wereld van de algebra zullen leiden.
De wet van rekenkundige orde
De wet van de orde wordt elke dag gebruikt door menselijke logica, door horloges te vergelijken en bankbiljetten te tellen. En niettemin moet het worden geformaliseerd in de vorm van specifieke formuleringen.
Als we twee natuurlijke getallen a en b hebben, dan zijn de volgende opties mogelijk:
- a is gelijk aan b, of a=b;
- a is kleiner dan b, of a < b;
- a is groter dan b, of a > b.
Van de drie opties kan er maar één eerlijk zijn. De basiswet die van toepassing is op de bestelling zegt: als a < b en b < c, dan a< c.
Er zijn ook wetten met betrekking tot vermenigvuldigen en optellen: als a< b is, dan is a + c < b+c en ac< bc.
De wetten van de rekenkunde leren ons om met cijfers, tekens en haakjes te werken, waardoor alles een harmonieuze symfonie van cijfers wordt.
Positionele en niet-positionele calculus
Je kunt zeggen dat getallen een wiskundige taal zijn, waarvan veel afhangt van het gemak. Er zijn veel getalsystemen die, net als de alfabetten van verschillende talen, van elkaar verschillen.
Laten we de getalsystemen eens bekijken vanuit het oogpunt van de invloed van de positie op de kwantitatieve waardenummers in deze positie. Het Romeinse systeem is bijvoorbeeld niet-positioneel, waarbij elk nummer wordt gecodeerd door een bepaalde reeks speciale tekens: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de nummers 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. In zo'n systeem verandert het getal zijn kwantitatieve definitie niet, afhankelijk van de positie waarin het zich bevindt: eerste, tweede, enz. Om andere getallen te krijgen, moet je de basisnummers toevoegen. Bijvoorbeeld:
- DCC=700.
- CCM=800.
Het nummersysteem dat ons meer vertrouwd is met het gebruik van Arabische cijfers is positioneel. In een dergelijk systeem bepa alt het cijfer van een getal het aantal cijfers, bijvoorbeeld driecijferige getallen: 333, 567, enz. Het gewicht van een willekeurig cijfer hangt af van de positie waarin dit of dat cijfer zich bevindt, bijvoorbeeld het cijfer 8 op de tweede positie heeft een waarde van 80. Dit is typisch voor het decimale systeem, er zijn bijvoorbeeld andere positionele systemen, binair.
Binaire rekenkunde
We zijn bekend met het decimale stelsel, dat bestaat uit eencijferige en meercijferige getallen. Het getal aan de linkerkant van een meercijferig getal is tien keer belangrijker dan het getal aan de rechterkant. We zijn dus gewend om 2, 17, 467, enz. te lezen. De sectie genaamd "binaire rekenkunde" heeft een heel andere logica en benadering. Dit is niet verrassend, want binaire rekenkunde is niet gemaakt voor menselijke logica, maar voor computerlogica. Als de rekenkunde van getallen is ontstaan uit het tellen van objecten, wat verder werd geabstraheerd van de eigenschappen van het object naar "kale" rekenkunde, dan werkt dit niet met een computer. Om te kunnen delenmet zijn kennis van een computer moest iemand zo'n rekenmodel uitvinden.
Binaire rekenkunde werkt met het binaire alfabet, dat alleen uit 0 en 1 bestaat. En het gebruik van dit alfabet wordt het binaire systeem genoemd.
Het verschil tussen binaire rekenkunde en decimale rekenkunde is dat de betekenis van de positie aan de linkerkant niet langer 10, maar 2 keer is. Binaire getallen hebben de vorm 111, 1001, enz. Hoe dergelijke getallen te begrijpen? Overweeg dus het getal 1100:
- Het eerste cijfer aan de linkerkant is 18=8, onthoud dat het vierde cijfer, wat betekent dat het moet worden vermenigvuldigd met 2, positie 8 krijgen.
- Tweede cijfer 14=4 (positie 4).
- Derde cijfer 02=0 (positie 2).
- Vierde cijfer 01=0 (positie 1).
- Ons nummer is dus 1100=8+4+0+0=12.
Dat wil zeggen, wanneer u naar een nieuw cijfer aan de linkerkant gaat, wordt de betekenis ervan in het binaire systeem vermenigvuldigd met 2, en in decimaal - met 10. Zo'n systeem heeft één minpunt: het is een te grote toename in cijfers die nodig zijn om getallen te schrijven. Voorbeelden van het weergeven van decimale getallen als binaire getallen zijn te vinden in de volgende tabel.
Decimale getallen in binaire vorm worden hieronder weergegeven.
Zowel octale als hexadecimale systemen worden ook gebruikt.
Deze mysterieuze rekenkunde
Wat is rekenkunde, 'tweemaal twee' of onontgonnen mysteries van getallen? Zoals je kunt zien, lijkt rekenen op het eerste gezicht misschien eenvoudig, maar het onopvallende gemak ervan is bedrieglijk. Het kan ook worden bestudeerd door kinderen samen met tante Uil vancartoon "Rekenkunde-baby", en je kunt jezelf onderdompelen in diep wetenschappelijk onderzoek van een bijna filosofische orde. In de geschiedenis is ze van het tellen van objecten overgegaan op het aanbidden van de schoonheid van getallen. Slechts één ding is zeker: met de vaststelling van de basispostulaten van de rekenkunde kan alle wetenschap op haar sterke schouder vertrouwen.
