Het deel van de natuurkunde dat de kenmerken van de beweging van vloeibare media bestudeert, wordt hydrodynamica genoemd. Een van de belangrijkste wiskundige uitdrukkingen van hydrodynamica is de Bernoulli-vergelijking voor een ideale vloeistof. Het artikel is aan dit onderwerp gewijd.
Wat is een ideale vloeistof?
Veel mensen weten dat een vloeibare substantie zo'n geaggregeerde toestand van materie is die volume behoudt onder constante externe omstandigheden, maar van vorm verandert bij de minste impact erop. Een ideale vloeistof is een vloeibare substantie die geen viscositeit heeft en niet samendrukbaar is. Dit zijn de twee belangrijkste eigenschappen die het onderscheiden van echte vloeistoffen.
Merk op dat bijna alle echte vloeistoffen als onsamendrukbaar kunnen worden beschouwd, omdat een kleine verandering in hun volume een enorme externe druk vereist. Als u bijvoorbeeld een druk van 5 atmosfeer (500 kPa) creëert, verhoogt water zijn dichtheid met slechts 0,024%. Wat betreft de kwestie van viscositeit, voor een aantal praktische problemen, wanneer water wordt beschouwd als een werkvloeistof, kan het worden verwaarloosd. Voor de volledigheid merken we op dat:dynamische viscositeit van water bij 20 oC is 0,001 Pas2, wat mager is vergeleken met deze waarde voor honing (>2000).
Het is belangrijk om de begrippen ideale vloeistof en ideaal gas niet te verwarren, aangezien de laatste gemakkelijk samendrukbaar is.
Continuïteitsvergelijking
In de hydrodynamica begint men de beweging van een ideale vloeistof te beschouwen vanuit de studie van de continuïteitsvergelijking van zijn stroming. Om de essentie van het probleem te begrijpen, is het noodzakelijk om de beweging van vloeistof door de pijp te overwegen. Stel je voor dat bij de inlaat de leiding een doorsnede heeft A1, en bij de uitlaat A2.
Stel nu dat de vloeistof aan het begin van de leiding stroomt met de snelheid v1, dit betekent dat op tijd t door de sectie A1stroomvolume V1=A1v1t. Aangezien de vloeistof ideaal is, d.w.z. onsamendrukbaar, moet exact hetzelfde volume water het einde van de leiding verlaten op tijd t, krijgen we: V2=A2 v2t. Uit de gelijkheid van de volumes V1 en V2 volgt de vergelijking voor de continuïteit van de stroming van een ideale vloeistof:
A1v1=A2v2.
Uit de resulterende vergelijking volgt dat als A1>A2, dan v1 moet kleiner zijn dan v2. Met andere woorden, door de doorsnede van de pijp te verkleinen, verhogen we daardoor de snelheid van de vloeistofstroom die deze verlaat. Het is duidelijk dat dit effect werd waargenomen door elke persoon in zijn leven die minstens één keer bloembedden met een slang oftuin, dus als je het gat van de slang met je vinger afdekt, kun je zien hoe de waterstraal die eruit spuit sterker wordt.
Continuïteitsvergelijking voor een vertakte leiding
Het is interessant om het geval te beschouwen van de beweging van een ideale vloeistof door een pijp die niet één, maar twee of meer uitgangen heeft, dat wil zeggen, hij is vertakt. Het dwarsdoorsnede-oppervlak van een pijp bij de inlaat is bijvoorbeeld A1, en naar de uitlaat toe vertakt het zich in twee pijpen met secties A2en A3. Laten we de stroomsnelheden v2 en v3 bepalen, als bekend is dat water de inlaat binnenkomt met een snelheid v 1.
Met behulp van de continuïteitsvergelijking krijgen we de uitdrukking: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Om deze vergelijking voor onbekende snelheden op te lossen, moet je begrijpen dat bij de uitlaat, in welke leiding de stroom ook is, deze met dezelfde snelheid beweegt, dat wil zeggen, v2=v3. Dit feit kan intuïtief worden begrepen. Als de uitlaatpijp door een scheidingswand in twee delen wordt verdeeld, verandert het debiet niet. Gezien dit feit krijgen we de oplossing: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Bernoulli's vergelijking voor een ideale vloeistof
Daniil Bernoulli, een Zwitserse natuurkundige en wiskundige van Nederlandse afkomst, presenteerde in zijn werk "Hydrodynamics" (1734) een vergelijking voor een ideale vloeistof die zijn beweging beschrijft. Het is geschreven in de volgende vorm:
P+ ρv2/2 + ρgh=const.
Deze uitdrukking weerspiegelt de wet van behoud van energie in het geval van vloeistofstroom. Dus de eerste term (P) is de druk gericht langs de vloeistofverplaatsingsvector, die het werk van de stroming beschrijft, de tweede term (ρv2/2) is de kinetische energie van de vloeibare substantie, en de derde term (ρgh) is zijn potentiële energie.
Bedenk dat deze vergelijking geldig is voor een ideale vloeistof. In werkelijkheid is er altijd wrijving van een vloeibare substantie tegen de wanden van de pijp en binnen zijn volume, daarom wordt een extra term geïntroduceerd in de bovenstaande Bernoulli-vergelijking die deze energieverliezen beschrijft.
De Bernoulli-vergelijking gebruiken
Het is interessant om enkele uitvindingen te citeren die deducties van de Bernoulli-vergelijking gebruiken:
- Schoorsteen en kappen. Uit de vergelijking volgt dat hoe groter de bewegingssnelheid van een vloeibare substantie, hoe lager de druk. De snelheid van de luchtbeweging aan de bovenkant van de schoorsteen is groter dan aan de basis, dus de rookstroom neigt altijd naar boven vanwege het drukverschil.
- Waterleidingen. De vergelijking helpt om te begrijpen hoe de waterdruk in de leiding zal veranderen als de diameter van deze laatste wordt gewijzigd.
- Vliegtuigen en Formule 1. De hoek van de vleugels van een vliegtuig en een F1-vleugel zorgt voor een verschil in luchtdruk boven en onder de vleugel, waardoor er respectievelijk een opwaartse en neerwaartse kracht ontstaat.
Wijzen van vloeistofstroom
De vergelijking van Bernoulli is niethoudt rekening met de vloeistofbewegingsmodus, die van twee soorten kan zijn: laminair en turbulent. Laminaire stroming wordt gekenmerkt door een rustige stroming, waarin vloeistoflagen langs relatief gladde banen bewegen en niet met elkaar vermengen. De turbulente modus van vloeistofbeweging wordt gekenmerkt door de chaotische beweging van elk molecuul waaruit de stroom bestaat. Een kenmerk van het turbulente regime is de aanwezigheid van draaikolken.
Op welke manier de vloeistof zal stromen, hangt af van een aantal factoren (kenmerken van het systeem, bijvoorbeeld de aan- of afwezigheid van ruwheid op het binnenoppervlak van de buis, de viscositeit van de stof en de snelheid van zijn beweging). De overgang tussen de beschouwde bewegingsmodi wordt beschreven door Reynolds-getallen.
Een treffend voorbeeld van laminaire stroming is de langzame beweging van bloed door gladde bloedvaten. Een voorbeeld van een turbulente stroming is een sterke waterdruk uit een kraan.
