Een van de takken van de wiskunde waarmee schoolkinderen de grootste moeilijkheden hebben, is trigonometrie. Geen wonder: om dit kennisgebied vrijelijk onder de knie te krijgen, heb je ruimtelijk denken nodig, het vermogen om sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen, cotangenten te vinden met behulp van formules, uitdrukkingen te vereenvoudigen en het getal pi in berekeningen te kunnen gebruiken. Bovendien moet je trigonometrie kunnen toepassen bij het bewijzen van stellingen, en dit vereist ofwel een ontwikkeld wiskundig geheugen of het vermogen om complexe logische ketens af te leiden.
De oorsprong van trigonometrie
Inleiding tot deze wetenschap zou moeten beginnen met de definitie van de sinus, cosinus en tangens van een hoek, maar eerst moet je uitzoeken wat trigonometrie in het algemeen doet.
Historisch gezien waren rechthoekige driehoeken het belangrijkste onderzoeksobject in dit deel van de wiskundige wetenschap. De aanwezigheid van een hoek van 90 graden maakt het mogelijk om verschillende bewerkingen uit te voeren die tweezijden en een hoek of twee hoeken en een zijde om de waarden van alle parameters van de betreffende figuur te bepalen. In het verleden merkten mensen dit patroon op en begonnen het actief te gebruiken bij de constructie van gebouwen, navigatie, astronomie en zelfs kunst.
Inception
Aanvankelijk spraken mensen uitsluitend over de relatie van hoeken en zijden naar het voorbeeld van rechthoekige driehoeken. Toen werden speciale formules ontdekt, die het mogelijk maakten om de grenzen van het gebruik in het dagelijks leven van dit deel van de wiskunde te verleggen.
De studie van trigonometrie op school begint tegenwoordig met rechthoekige driehoeken, waarna de opgedane kennis wordt gebruikt door studenten in de natuurkunde en het oplossen van abstracte trigonometrische vergelijkingen, waarmee het werk begint op de middelbare school.
Sferische trigonometrie
Later, toen de wetenschap het volgende ontwikkelingsniveau bereikte, werden formules met sinus, cosinus, tangens en cotangens gebruikt in sferische meetkunde, waar andere regels van toepassing zijn, en de som van de hoeken in een driehoek is altijd meer dan 180 graden. Dit gedeelte wordt niet op school bestudeerd, maar het is noodzakelijk om over het bestaan ervan te weten, tenminste omdat het aardoppervlak, en het oppervlak van elke andere planeet, convex is, wat betekent dat elke markering van het oppervlak "boogvormig" zal zijn. " in driedimensionale ruimte.
Neem een wereldbol en een draad. Bevestig de draad aan twee willekeurige punten op de wereldbol zodat deze strak staat. Let op - het heeft de vorm van een boog gekregen. Het gaat over dergelijke vormenbolvormige geometrie gebruikt in geodesie, astronomie en andere theoretische en toegepaste velden.
Rechtse driehoek
Nu we wat hebben geleerd over de manieren om trigonometrie te gebruiken, gaan we terug naar de basisgonometrie om beter te begrijpen wat sinus, cosinus en tangens zijn, welke berekeningen met hun hulp kunnen worden uitgevoerd en welke formules we moeten gebruiken.
Allereerst moet je de concepten begrijpen die verband houden met een rechthoekige driehoek. Ten eerste is de hypotenusa de zijde tegenover de hoek van 90 graden. Ze is de langste. We herinneren ons dat volgens de stelling van Pythagoras de numerieke waarde gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de andere twee zijden.
Als twee zijden bijvoorbeeld respectievelijk 3 en 4 centimeter zijn, is de lengte van de hypotenusa 5 centimeter. Trouwens, de oude Egyptenaren wisten dit ongeveer vier en een half duizend jaar geleden.
De twee resterende zijden die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd. Bovendien moeten we niet vergeten dat de som van de hoeken in een driehoek in een rechthoekig coördinatensysteem 180 graden is.
Definitie
Ten slotte, met een goed begrip van de geometrische basis, kunnen we ons wenden tot de definitie van de sinus, cosinus en tangens van een hoek.
De sinus van een hoek is de verhouding van het tegenoverliggende been (dat wil zeggen, de zijde tegenover de gewenste hoek) tot de hypotenusa. De cosinus van een hoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.
Onthoud dat sinus noch cosinus groter kan zijn dan één! Waarom?Omdat de hypotenusa standaard de langste zijde van een rechthoekige driehoek is. Het maakt niet uit hoe lang het been is, het zal korter zijn dan de hypotenusa, wat betekent dat hun verhouding altijd minder dan één zal zijn. Dus als je een sinus of cosinus krijgt met een waarde groter dan 1 in het antwoord op het probleem, zoek dan naar een fout in berekeningen of redenering. Dit antwoord is duidelijk fout.
Ten slotte is de tangens van een hoek de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde. Hetzelfde resultaat geeft de deling van de sinus door de cosinus. Kijk: volgens de formule delen we de lengte van de zijde door de hypotenusa, waarna we delen door de lengte van de tweede zijde en vermenigvuldigen met de hypotenusa. We krijgen dus dezelfde verhouding als in de definitie van de tangens.
Cotangens, respectievelijk, is de verhouding van de zijde grenzend aan de hoek tot de andere zijde. We krijgen hetzelfde resultaat door de eenheid te delen door de tangens.
Dus we hebben de definities overwogen van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens is, en we kunnen omgaan met formules.
Eenvoudige formules
In trigonometrie kan men niet zonder formules - hoe vind je sinus, cosinus, tangens, cotangens zonder formules? Maar dit is precies wat nodig is bij het oplossen van problemen.
De eerste formule die je moet weten als je trigonometrie gaat bestuderen, zegt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van een hoek gelijk is aan één. Deze formule is een direct gevolg van de stelling van Pythagoras, maar het bespaart tijd als je de waarde van de hoek moet achterhalen, niet de zijde.
Veel studenten kunnen zich de tweede formule niet herinneren, ook ergpopulair bij het oplossen van schoolproblemen: de som van één en het kwadraat van de tangens van een hoek is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus van de hoek. Kijk eens goed: dit is immers dezelfde uitspraak als in de eerste formule, alleen werden beide zijden van de identiteit gedeeld door het kwadraat van de cosinus. Het blijkt dat een eenvoudige wiskundige bewerking de trigonometrische formule volledig onherkenbaar maakt. Onthoud: als je weet wat een sinus, cosinus, tangens en cotangens is, de conversieregels en een paar basisformules, kun je op elk moment zelfstandig de benodigde meer complexe formules op een stuk papier afleiden.
Dubbele hoek formules en toevoeging van argumenten
Nog twee formules om te leren zijn gerelateerd aan de sinus- en cosinuswaarden voor de som en het verschil van hoeken. Ze zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding. Houd er rekening mee dat in het eerste geval de sinus en de cosinus beide keren worden vermenigvuldigd en in het tweede geval het paarsgewijze product van de sinus en de cosinus wordt toegevoegd.
Er zijn ook formules die verband houden met dubbele-hoekargumenten. Ze zijn volledig afgeleid van de vorige - probeer ze als oefening zelf te krijgen, waarbij de hoek van alfa gelijk is aan de hoek van bèta.
Merk ten slotte op dat de dubbele hoekformules kunnen worden omgezet om de graad van sinus, cosinus, tangens alfa te verminderen.
Sstellingen
De twee belangrijkste stellingen in de basistrigonometrie zijn de sinusstelling en de cosinusstelling. Met behulp van deze stellingen kun je gemakkelijk begrijpen hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt vinden, en dus het gebied van de figuur en de grootteelke kant, enz.
De sinusstelling stelt dat als we de lengte van elk van de zijden van een driehoek delen door de waarde van de tegenovergestelde hoek, we hetzelfde getal krijgen. Bovendien zal dit getal gelijk zijn aan twee stralen van de omgeschreven cirkel, d.w.z. de cirkel die alle punten van de gegeven driehoek bevat.
De cosinusstelling generaliseert de stelling van Pythagoras en projecteert deze op alle driehoeken. Het blijkt dat van de som van de kwadraten van de twee zijden, hun product aftrekt, vermenigvuldigd met de dubbele cosinus van de aangrenzende hoek - de resulterende waarde zal gelijk zijn aan het kwadraat van de derde zijde. De stelling van Pythagoras blijkt dus een speciaal geval van de cosinusstelling te zijn.
Fouten door onoplettendheid
Zelfs als je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn, is het gemakkelijk om een fout te maken door verstrooidheid of een fout in de eenvoudigste berekeningen. Laten we eens kijken naar de meest populaire om dergelijke fouten te voorkomen.
Allereerst, converteer gewone breuken niet naar decimalen voordat u het eindresultaat krijgt - u kunt het antwoord als een gewone breuk laten, tenzij anders vermeld in de voorwaarde. Een dergelijke transformatie kan geen fout worden genoemd, maar er moet aan worden herinnerd dat in elke fase van de taak nieuwe wortels kunnen verschijnen, die volgens het idee van de auteur moeten worden verminderd. In dit geval verspilt u tijd aan onnodige wiskundige bewerkingen. Dit geldt met name voor waarden zoals de wortel van drie of twee, omdat ze bij elke stap in taken voorkomen. Hetzelfde geldt voor afronding."Lelijke" cijfers.
Merk vervolgens op dat de cosinusstelling van toepassing is op elke driehoek, maar niet op de stelling van Pythagoras! Als u per ongeluk vergeet tweemaal het product van de zijden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek ertussen af te trekken, krijgt u niet alleen een volledig verkeerd resultaat, maar toont u ook een volledig verkeerd begrip van het onderwerp aan. Dit is erger dan een slordige fout.
Ten derde, verwar de waarden voor hoeken van 30 en 60 graden niet voor sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen, cotangensen. Onthoud deze waarden, want de sinus van 30 graden is gelijk aan de cosinus van 60 en vice versa. Het is gemakkelijk om ze door elkaar te halen en je krijgt onvermijdelijk een foutief resultaat.
Toepassing
Veel studenten hebben geen haast om trigonometrie te gaan studeren, omdat ze de toegepaste betekenis ervan niet begrijpen. Wat is sinus, cosinus, tangens voor een ingenieur of astronoom? Dit zijn concepten waarmee je de afstand tot verre sterren kunt berekenen, de val van een meteoriet kunt voorspellen, een onderzoekssonde naar een andere planeet kunt sturen. Zonder hen is het onmogelijk om een gebouw te bouwen, een auto te ontwerpen, de belasting op het oppervlak of de baan van een object te berekenen. En dit zijn nog maar de meest voor de hand liggende voorbeelden! Trigonometrie in een of andere vorm wordt immers overal gebruikt, van muziek tot geneeskunde.
Tot slot
Dus je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn. Je kunt ze gebruiken in berekeningen en met succes schoolproblemen oplossen.
Het hele punttrigonometrie wordt gereduceerd tot het feit dat het volgens de bekende parameters van de driehoek noodzakelijk is om de onbekenden te berekenen. Er zijn in totaal zes parameters: de lengtes van drie zijden en de grootten van drie hoeken. Het hele verschil in de taken ligt in het feit dat er verschillende invoergegevens worden gegeven.
Hoe je de sinus, cosinus, tangens kunt vinden op basis van de bekende lengtes van de benen of de hypotenusa, weet je nu. Aangezien deze termen niets meer betekenen dan een verhouding, en een verhouding een breuk is, is het belangrijkste doel van het trigonometrische probleem het vinden van de wortels van een gewone vergelijking of een stelsel vergelijkingen. En hier zal de gebruikelijke schoolwiskunde je helpen.
