Bertrand's paradox is een probleem in de klassieke interpretatie van kansrekening. Joseph introduceerde het in zijn werk Calcul des probabilités (1889) als een voorbeeld dat kansen niet goed kunnen worden gedefinieerd als een mechanisme of methode een willekeurige variabele produceert.
Probleemstelling
Bertrands paradox is als volgt.
Beschouw eerst een gelijkzijdige driehoek ingeschreven in een cirkel. In dit geval wordt de diameter willekeurig gekozen. Wat is de kans dat deze langer is dan de zijde van de driehoek?
Bertrand voerde drie argumenten aan, die allemaal correct lijken, maar verschillende resultaten opleveren.
Willekeurige eindpuntmethode
Je moet twee plaatsen op de cirkel selecteren en een boog tekenen die ze verbindt. Voor de berekening wordt rekening gehouden met de kansparadox van Bertrand. Het is noodzakelijk om je voor te stellen dat de driehoek zo wordt geroteerd dat zijn hoekpunt samenv alt met een van de eindpunten van het akkoord. De moeite waard om te betalenmerk op dat als het andere deel op een boog tussen twee plaatsen ligt, de cirkel langer is dan de zijde van de driehoek. De lengte van de boog is een derde van de cirkel, dus de kans dat een willekeurig akkoord langer is is 1/3.
Selectiemethode
Het is noodzakelijk om de straal van de cirkel en een punt erop te selecteren. Daarna moet je een akkoord door deze plek bouwen, loodrecht op de diameter. Om de weloverwogen paradox van Bertrand van de waarschijnlijkheidstheorie te berekenen, moet men zich voorstellen dat de driehoek zo is gedraaid dat de zijde loodrecht op de straal staat. Het akkoord is langer dan het been als het geselecteerde punt dichter bij het middelpunt van de cirkel ligt. En in dit geval halveert de zijde van de driehoek de straal. Daarom is de kans dat het akkoord langer is dan de zijkant van de ingeschreven figuur 1/2.
Willekeurige akkoorden
Midpunt methode. Het is noodzakelijk om een plaats op de cirkel te kiezen en een akkoord te maken met een bepaald midden. De as is langer dan de rand van de ingeschreven driehoek, als de geselecteerde locatie zich binnen een concentrische cirkel met straal 1/2 bevindt. De oppervlakte van de kleinere cirkel is een kwart van de grotere figuur. Daarom is de kans op een willekeurig akkoord langer dan de zijde van de ingeschreven driehoek en is gelijk aan 1/4.
Zoals hierboven weergegeven, verschillen selectiemethoden in het gewicht dat ze geven aan bepaalde akkoorden, die diameters zijn. In methode 1 kan elk akkoord op precies één manier worden geselecteerd, of het nu een diameter is of niet.
In methode 2 kan elke rechte lijn op twee manieren worden geselecteerd. Terwijl elk ander akkoord zal worden gekozenslechts een van de mogelijkheden.
In methode 3 heeft elke selectie van het middelpunt één enkele parameter. Behalve het middelpunt van de cirkel, dat is het middelpunt van alle diameters. Deze problemen kunnen worden vermeden door alle vragen te "ordenen" om parameters uit te sluiten zonder de resulterende kansen te beïnvloeden.
Selecteer methoden kunnen ook als volgt worden gevisualiseerd. Een akkoord dat geen diameter is, wordt uniek geïdentificeerd door zijn middelpunt. Elk van de drie hierboven gepresenteerde selectiemethoden levert een andere verdeling van het midden op. En opties 1 en 2 bieden twee verschillende niet-uniforme partities, terwijl methode 3 een uniforme verdeling geeft.
De klassieke paradox van het oplossen van het probleem van Bertrand hangt af van de methode waarmee het akkoord "willekeurig" wordt gekozen. Het blijkt dat als vooraf een methode van willekeurige selectie wordt gespecificeerd, het probleem een goed gedefinieerde oplossing heeft. Dit komt omdat elke individuele methode zijn eigen verdeling van akkoorden heeft. De drie uitspraken van Bertrand komen overeen met verschillende selectiewijzen en bij gebrek aan verdere informatie is er geen reden om de ene boven de andere te verkiezen. Dienovereenkomstig heeft het genoemde probleem geen enkele oplossing.
Een voorbeeld van hoe je een algemeen antwoord uniek maakt, is door te specificeren dat de eindpunten van het akkoord gelijk verdeeld zijn tussen 0 en c, waarbij c de omtrek van de cirkel is. Deze verdeling is dezelfde als in Bertrands eerste argument en de resulterende unieke kans is 1/3.
Deze Bertrand Russell-paradox en andere unieke kenmerken van klassiekinterpretaties van mogelijkheden rechtvaardigen meer rigoureuze formuleringen. Inclusief kansfrequentie en subjectivistische Bayesiaanse theorie.
Wat ten grondslag ligt aan de paradox van Bertrand
In zijn artikel 'The Well-posed Problem' uit 1973 bood Edwin Jaynes zijn unieke oplossing. Hij merkte op dat de paradox van Bertrand is gebaseerd op een premisse gebaseerd op het principe van "maximale onwetendheid". Dit betekent dat u geen informatie mag gebruiken die niet in de probleemstelling staat. Jaynes wees erop dat het probleem van Bertrand niet de positie of grootte van de cirkel bepa alt. En voerde aan dat daarom elke definitieve en objectieve beslissing "onverschillig" moet zijn voor grootte en positie.
Ter illustratie
Ervan uitgaande dat alle akkoorden willekeurig op een cirkel van 2 cm zijn geplaatst, moet je er nu van een afstand rietjes naar gooien.
Dan moet je een andere cirkel nemen met een kleinere diameter (bijvoorbeeld 1 centimeter), die in een groter figuur past. Dan zou de verdeling van akkoorden op deze kleinere cirkel hetzelfde moeten zijn als op de maximale. Als het tweede cijfer ook binnen het eerste beweegt, zou de waarschijnlijkheid in principe niet moeten veranderen. Het is heel gemakkelijk in te zien dat voor methode 3 de volgende verandering zal optreden: de verdeling van akkoorden op de kleine rode cirkel zal kwalitatief anders zijn dan de verdeling op de grote cirkel.
Hetzelfde gebeurt voor methode 1. Hoewel het moeilijker te zien is in de grafische weergave.
Methode 2 is de enigewat zowel een schaal- als een translatie-invariant blijkt te zijn.
Methode nummer 3 lijkt eenvoudig uitbreidbaar te zijn.
Methode 1 is geen van beide.
Janes gebruikte echter niet gemakkelijk invarianten om deze methoden te accepteren of te verwerpen. Dit zou de mogelijkheid openlaten dat er een andere onbeschreven methode is die zou passen bij de aspecten van redelijke betekenis. Jaynes paste integrale vergelijkingen toe die invarianties beschrijven. Om de kansverdeling direct te bepalen. In zijn probleem hebben de integraalvergelijkingen inderdaad een unieke oplossing, en dit is precies wat de tweede methode met willekeurige straal hierboven werd genoemd.
In een paper uit 2015 stelt Alon Drory dat het principe van Jaynes ook twee andere Bertrand-oplossingen kan opleveren. De auteur verzekert dat de wiskundige implementatie van de bovenstaande eigenschappen van invariantie niet uniek is, maar afhangt van de basisprocedure voor willekeurige selectie die een persoon besluit te gebruiken. Hij laat zien dat elk van de drie Bertrand-oplossingen kan worden verkregen met behulp van rotatie-, schalings- en translatie-invariantie. Tegelijkertijd concluderen we dat het Jaynes-principe net zo voor interpretatie vatbaar is als de vorm van onverschilligheid zelf.
Fysieke experimenten
Methode 2 is de enige oplossing die voldoet aan de transformatie-invarianten die aanwezig zijn in specifieke fysiologische concepten zoals statistische mechanica en gasstructuur. Ook in de voorgesteldeJanes' experiment om rietjes te gooien vanuit een kleine cirkel.
Er kunnen echter andere praktische experimenten worden ontworpen die antwoorden geven volgens andere methoden. Om bijvoorbeeld tot een oplossing voor de eerste willekeurige eindpuntmethode te komen, kun je een teller aan het midden van het gebied koppelen. En laat de resultaten van twee onafhankelijke rotaties de laatste plaatsen van het akkoord markeren. Om tot een oplossing voor de derde methode te komen, kan men de cirkel bijvoorbeeld bedekken met melasse en het eerste punt waarop de vlieg landt als middenakkoord markeren. Verschillende contemplatieven hebben studies gemaakt om verschillende conclusies te trekken en hebben de resultaten empirisch bevestigd.
Laatste evenementen
In zijn artikel uit 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" stelt Nicholas Shackel dat het probleem meer dan een eeuw later nog steeds niet is opgelost. Ze gaat verder met het weerleggen van het principe van onverschilligheid. Bovendien laat Darrell R. Robottom in zijn paper uit 2013 "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical" zien dat alle voorgestelde uitspraken niets te maken hebben met zijn eigen vraag. Het bleek dus dat de paradox veel moeilijker op te lossen zou zijn dan eerder werd gedacht.
Shackel benadrukt dat tot dusver veel wetenschappers en mensen ver van de wetenschap hebben geprobeerd de paradox van Bertrand op te lossen. Het wordt nog steeds overwonnen met behulp van twee verschillende benaderingen.
Die waarin het verschil tussen niet-equivalente problemen werd overwogen, en die waarin het probleem altijd als correct werd beschouwd. Shackel citeert Louis in zijn boekenMarinoff (als een typische exponent van de strategie van differentiatie) en Edwin Jaynes (als de auteur van een goed doordachte theorie).
In hun recente werk Solving a Complex Problem geloven Diederik Aerts en Massimiliano Sassoli de Bianchi echter dat om de Bertrand-paradox op te lossen, de premissen in een gemengde strategie moeten worden gezocht. Volgens deze auteurs is de eerste stap om het probleem op te lossen door duidelijk de aard van de entiteit die wordt gerandomiseerd te vermelden. En pas nadat dit is gebeurd, kan elk probleem als correct worden beschouwd. Dat is wat Janes denkt.
Dus het principe van maximale onwetendheid kan worden gebruikt om het op te lossen. Hiertoe, en aangezien het probleem niet specificeert hoe een akkoord moet worden gekozen, wordt het principe niet toegepast op het niveau van de verschillende mogelijkheden, maar op een veel dieper niveau.
Selectie van onderdelen
Dit deel van het probleem vereist de berekening van een meta-gemiddelde over alle mogelijke manieren, wat de auteurs het universele gemiddelde noemen. Om hiermee om te gaan, gebruiken ze de discretisatiemethode. Geïnspireerd door wat er wordt gedaan bij het definiëren van de waarschijnlijkheidswet in Wiener-processen. Hun resultaat is consistent met het numerieke uitvloeisel van Jaynes, hoewel hun goed geformuleerde probleem verschilt van dat van de oorspronkelijke auteur.
In economie en commercie beschrijft de Bertrand Paradox, genoemd naar de maker Joseph Bertrand, een situatie waarin twee spelers (bedrijven) een Nash-evenwicht bereiken. Wanneer beide bedrijven een prijs vaststellen die gelijk is aan de marginale kosten(MS).
Bertrands paradox is gebaseerd op een premisse. Het ligt in het feit dat in modellen zoals Cournot-concurrentie een toename van het aantal bedrijven wordt geassocieerd met de convergentie van prijzen met marginale kosten. In deze alternatieve modellen zit de paradox van Bertrand in een oligopolie van een klein aantal bedrijven die positieve winsten maken door prijzen boven de kostprijs te rekenen.
Om te beginnen is het de moeite waard om aan te nemen dat twee bedrijven A en B een homogeen product verkopen, die elk dezelfde productie- en distributiekosten hebben. Hieruit volgt dat kopers een product uitsluitend op prijs kiezen. Dit betekent dat de vraag oneindig prijselastisch is. Noch A, noch B zullen een hogere prijs stellen dan de anderen, omdat dan de hele Bertrand-paradox zou instorten. Een van de marktpartijen zal zwichten voor zijn concurrent. Als ze dezelfde prijs bepalen, delen de bedrijven de winst.
Aan de andere kant, als een bedrijf zijn prijs ook maar iets verlaagt, krijgt het de hele markt en een aanzienlijk hoger rendement. Aangezien A en B dit weten, zullen ze elk proberen de concurrent te onderbieden totdat het product zonder economische winst wordt verkocht.
Recent werk heeft aangetoond dat er een extra evenwicht kan zijn in Bertrands gemengde strategieparadox, met positieve economische winsten, op voorwaarde dat de monopoliesom oneindig is. Voor het geval van de uiteindelijke winst is aangetoond dat een positieve stijging onder prijsconcurrentie onmogelijk is in gemengde evenwichten en zelfs in het meer algemene gevalgecorreleerde systemen.
De economische paradox van Bertrand wordt in de praktijk zelden gezien, omdat echte producten bijna altijd op een andere manier worden gedifferentieerd dan de prijs (bijvoorbeeld te veel betalen voor een label). Bedrijven hebben grenzen aan hun vermogen om te produceren en te distribueren. Dit is de reden waarom twee bedrijven zelden dezelfde kosten hebben.
Bertrands resultaat is paradoxaal, want als het aantal bedrijven toeneemt van één naar twee, da alt de prijs van monopolie naar competitief en blijft op hetzelfde niveau als het aantal bedrijven dat daarna toeneemt. Dit is niet erg realistisch, omdat in werkelijkheid markten met weinig bedrijven met marktmacht de neiging hebben om prijzen boven de marginale kosten in rekening te brengen. Empirische analyse toont aan dat de meeste industrieën met twee concurrenten positieve winsten genereren.
In de moderne wereld proberen wetenschappers oplossingen te vinden voor de paradox die meer in overeenstemming zijn met het Cournot-model van concurrentie. Waar twee bedrijven in een markt positieve winsten maken die ergens tussen perfect competitieve en monopolieniveaus liggen.
Enkele redenen waarom de paradox van Bertrand niet direct gerelateerd is aan economie:
- Capaciteitslimieten. Soms hebben bedrijven niet voldoende capaciteit om aan alle vraag te voldoen. Dit punt werd voor het eerst naar voren gebracht door Francis Edgeworth en gaf aanleiding tot het Bertrand-Edgeworth-model.
- Integer prijzen. Prijzen boven de MC zijn uitgesloten omdat het ene bedrijf willekeurig een ander kan onderbieden.een kleine hoeveelheid. Als de prijzen discreet zijn (ze moeten bijvoorbeeld gehele waarden aannemen), dan moet het ene bedrijf het andere met ten minste één roebel onderbieden. Dit houdt in dat de waarde van de kleine valuta boven de MC ligt. Als een ander bedrijf de prijs ervoor hoger stelt, kan een ander bedrijf het verlagen en de hele markt veroveren, precies hierin bestaat de paradox van Bertrand. Het zal haar geen winst opleveren. Dit bedrijf geeft er de voorkeur aan om de verkoop 50/50 te delen met een ander bedrijf en een puur positieve opbrengst te ontvangen.
- Productdifferentiatie. Als de producten van verschillende bedrijven van elkaar verschillen, zullen consumenten mogelijk niet volledig overstappen op producten met een lagere prijs.
- Dynamische competitie. Herhaalde interactie of herhaalde prijsconcurrentie kan leiden tot een waarde-evenwicht.
- Meer items voor een hoger bedrag. Dit volgt uit herhaalde interactie. Als een bedrijf zijn prijs iets hoger zet, krijgt het nog steeds ongeveer hetzelfde aantal aankopen, maar meer winst per item. Daarom zal het andere bedrijf zijn markup verhogen, enz. (Alleen in herhalingen, anders gaat de dynamiek de andere kant op).
Oligopolie
Als twee bedrijven het eens kunnen worden over een prijs, is het in hun belang op lange termijn om zich aan de overeenkomst te houden: de inkomsten uit waardevermindering zijn minder dan het dubbele van de inkomsten uit naleving van de overeenkomst en duren slechts totdat het andere bedrijf zijn eigen prijzen.
Theoriewaarschijnlijkheden (zoals de rest van de wiskunde) is eigenlijk een recente uitvinding. En de ontwikkeling is niet vlekkeloos verlopen. De eerste pogingen om de kansberekening te formaliseren werden gedaan door de markies de Laplace, die voorstelde om het concept te definiëren als de verhouding van het aantal gebeurtenissen dat tot een uitkomst leidt.
Dit heeft natuurlijk alleen zin als het aantal van alle mogelijke gebeurtenissen eindig is. En bovendien zijn alle gebeurtenissen even waarschijnlijk.
Op dat moment leken deze concepten dus geen solide basis te hebben. Pogingen om de definitie uit te breiden tot het geval van een oneindig aantal gebeurtenissen hebben tot nog grotere moeilijkheden geleid. De paradox van Bertrand is zo'n ontdekking die wiskundigen op hun hoede heeft gemaakt voor het hele concept van waarschijnlijkheid.
