Kracht is een van de belangrijkste concepten in de natuurkunde. Het veroorzaakt een verandering in de staat van objecten. In dit artikel zullen we bekijken wat deze waarde is, welke krachten er zijn, en ook laten we zien hoe we de projectie van de kracht op de as en op het vlak kunnen vinden.
Macht en zijn fysieke betekenis
In de natuurkunde is kracht een vectorgrootheid die de verandering in het momentum van een lichaam per tijdseenheid weergeeft. Deze definitie beschouwt kracht als een dynamisch kenmerk. Vanuit het oogpunt van statica is kracht in de natuurkunde een maat voor elastische of plastische vervorming van lichamen.
Het internationale SI-systeem drukt kracht uit in newtons (N). Wat is 1 newton, de gemakkelijkste manier om het voorbeeld van de tweede wet van de klassieke mechanica te begrijpen. De wiskundige notatie is als volgt:
F¯=ma¯
Hier is F¯ een externe kracht die inwerkt op een lichaam met massa m en resulteert in versnelling a¯. De kwantitatieve definitie van één newton volgt uit de formule: 1 N is zo'n kracht die leidt tot een verandering in de snelheid van een lichaam met een massa van 1 kg met 1 m / s voor elke seconde.
Voorbeelden van dynamiekmanifestaties van kracht zijn de versnelling van een auto of een vrij vallend lichaam in het zwaartekrachtveld van de aarde.
De statische manifestatie van kracht, zoals opgemerkt, wordt geassocieerd met vervormingsverschijnselen. De volgende formules moeten hier worden gegeven:
F=PS
F=-kx
De eerste uitdrukking relateert de kracht F aan de druk P die het uitoefent op een gebied S. Door deze formule kan 1 N worden gedefinieerd als een druk van 1 pascal toegepast op een gebied van 1 m 2. Een kolom atmosferische lucht op zeeniveau drukt bijvoorbeeld op een plaats van 1 m2 met een kracht van 105N!
De tweede uitdrukking is de klassieke vorm van de wet van Hooke. Bijvoorbeeld, het uitrekken of samendrukken van een veer met een lineaire waarde x leidt tot het ontstaan van een tegenkracht F (in de uitdrukking is k de evenredigheidsfactor).
Welke krachten zijn er
Het is hierboven al aangetoond dat krachten statisch en dynamisch kunnen zijn. Hier zeggen we dat het naast deze functie ook contact- of langeafstandskrachten kunnen zijn. Wrijvingskracht, steunreacties zijn bijvoorbeeld contactkrachten. De reden voor hun verschijning is de geldigheid van het Pauli-principe. De laatste stelt dat twee elektronen niet dezelfde toestand kunnen bezetten. Daarom leidt de aanraking van twee atomen tot hun afstoting.
Lange-afstandskrachten ontstaan als gevolg van de interactie van lichamen door een bepaald dragerveld. Dat zijn bijvoorbeeld de zwaartekracht of elektromagnetische interactie. Beide krachten hebben een oneindig bereik,hun intensiteit neemt echter af met het kwadraat van de afstand (wetten van Coulomb en zwaartekracht).
Macht is een vectorhoeveelheid
Nadat we de betekenis van de beschouwde fysieke grootheid hebben behandeld, kunnen we overgaan tot de studie van de kwestie van krachtprojectie op de as. Allereerst merken we op dat deze grootheid een vector is, dat wil zeggen dat deze wordt gekenmerkt door een module en richting. We laten zien hoe we de krachtmodulus en de richting ervan kunnen berekenen.
Het is bekend dat elke vector uniek kan worden gedefinieerd in een bepaald coördinatensysteem als de waarden van de coördinaten van het begin en einde bekend zijn. Neem aan dat er een gericht segment MN¯ is. Dan kunnen de richting en module worden bepaald met behulp van de volgende uitdrukkingen:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Hier komen coördinaten met indices 2 overeen met punt N, die met indices 1 komen overeen met punt M. De vector MN¯ is gericht van M naar N.
Voor de algemeenheid hebben we laten zien hoe je de modulus en coördinaten (richting) van een vector in een driedimensionale ruimte kunt vinden. Vergelijkbare formules zonder de derde coördinaat zijn geldig voor het geval in het vliegtuig.
De krachtmodulus is dus zijn absolute waarde, uitgedrukt in Newton. Vanuit het oogpunt van geometrie is de modulus de lengte van het gerichte segment.
Wat is de projectie van kracht opas?
Het is het gemakkelijkst om over projecties van gerichte segmenten op coördinaatassen en -vlakken te praten als je eerst de corresponderende vector bij de oorsprong plaatst, dat wil zeggen, op het punt (0; 0; 0). Stel dat we een krachtvector F¯ hebben. Laten we het begin plaatsen bij het punt (0; 0; 0), dan kunnen de coördinaten van de vector als volgt worden geschreven:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vector F¯ toont de richting van de kracht in de ruimte in het gegeven coördinatensysteem. Laten we nu loodrechte segmenten tekenen vanaf het einde van F¯ naar elk van de assen. De afstand van het snijpunt van de loodlijn met de bijbehorende as tot de oorsprong wordt de projectie van de kracht op de as genoemd. Het is niet moeilijk te raden dat in het geval van de kracht F¯ de projecties op de x-, y- en z-assen x1, y1zullen zijnen z 1, respectievelijk. Merk op dat deze coördinaten de modules van krachtprojecties tonen (de lengte van de segmenten).
Hoeken tussen de kracht en zijn projecties op de coördinaatassen
Het berekenen van deze hoeken is niet moeilijk. Het enige dat nodig is om het op te lossen, is kennis van de eigenschappen van trigonometrische functies en het vermogen om de stelling van Pythagoras toe te passen.
Laten we bijvoorbeeld de hoek definiëren tussen de krachtrichting en zijn projectie op de x-as. De corresponderende rechthoekige driehoek wordt gevormd door de hypotenusa (vector F¯) en het been (segment x1). Het tweede been is de afstand van het einde van de vector F¯ tot de x-as. De hoek α tussen F¯ en de x-as wordt berekend met de formule:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Zoals je kunt zien, is het noodzakelijk en voldoende om de coördinaten van het einde van het gerichte segment te kennen om de hoek tussen de as en de vector te bepalen.
Voor hoeken met andere assen (y en z), kun je soortgelijke uitdrukkingen schrijven:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Merk op dat er in alle formules modules in de tellers zijn, waardoor het uiterlijk van stompe hoeken wordt geëlimineerd. Tussen de kracht en zijn axiale projecties zijn de hoeken altijd kleiner dan of gelijk aan 90o.
Kracht en zijn projecties op het coördinatenvlak
De definitie van de krachtprojectie op het vlak is dezelfde als die voor de as, alleen in dit geval moet de loodlijn niet op de as worden neergelaten, maar op het vlak.
In het geval van een ruimtelijk rechthoekig coördinatensysteem hebben we drie onderling loodrechte vlakken xy (horizontaal), yz (frontaal verticaal), xz (lateraal verticaal). De snijpunten van de loodlijnen die vanaf het einde van de vector naar de genoemde vlakken vallen, zijn:
(x1; y1; 0) voor xy;
(x1; 0; z1) voor xz;
(0; y1; z1) voor zy.
Als elk van de gemarkeerde punten is verbonden met de oorsprong, krijgen we de projectie van de kracht F¯ op het corresponderende vlak. Wat de krachtmodulus is, weten we. Om de modulus van elke projectie te vinden, moet je de stelling van Pythagoras toepassen. Laten we de projecties op het vlak aanduiden als Fxy, Fxz en Fzy. Dan zijn de gelijkheden geldig voor hun modules:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Hoeken tussen projecties op het vlak en krachtvector
In de bovenstaande paragraaf werden formules gegeven voor de modules van projecties op het vlak van de beschouwde vector F¯. Deze projecties vormen samen met het segment F¯ en de afstand van het einde tot het vlak rechthoekige driehoeken. Daarom kunt u, net als in het geval van projecties op de as, de definitie van trigonometrische functies gebruiken om de betreffende hoeken te berekenen. U kunt de volgende gelijkheden schrijven:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Het is belangrijk om te begrijpen dat de hoek tussen de richting van de kracht F¯ en de bijbehorende projectie op het vlak gelijk is aan de hoek tussen F¯ en dit vlak. Als we dit probleem vanuit het oogpunt van geometrie beschouwen, dan kunnen we zeggen dat het gerichte segment F¯ helt ten opzichte van de vlakken xy, xz en zy.
Waar worden krachtprojecties gebruikt?
De bovenstaande formules voor krachtprojecties op de coördinaatassen en op het vlak zijn niet alleen van theoretisch belang. Ze worden vaak gebruikt bij het oplossen van lichamelijke problemen. Het hele proces van het vinden van projecties wordt de ontleding van de kracht in zijn componenten genoemd. De laatste zijn vectoren, waarvan de som de oorspronkelijke krachtvector zou moeten geven. In het algemeen is het mogelijk om de kracht op te splitsen in willekeurige componenten, maar voor het oplossen van problemen is het handig om projecties op loodrechte assen en vlakken te gebruiken.
Problemen waarbij het concept van krachtprojecties wordt toegepast, kunnen heel verschillend zijn. Dezelfde tweede wet van Newton gaat er bijvoorbeeld van uit dat de externe kracht F¯ die op het lichaam inwerkt, op dezelfde manier moet worden gericht als de snelheidsvector v¯. Als hun richtingen over een bepaalde hoek verschillen, dan moet men, om de gelijkheid geldig te laten blijven, daarin niet de kracht F¯ zelf plaatsen, maar de projectie ervan op de richting v¯.
Vervolgens zullen we een paar voorbeelden geven, waar we zullen laten zien hoe de opgenomenformules.
De taak van het bepalen van krachtprojecties op het vlak en op de coördinaatassen
Veronderstel dat er een kracht F¯ is, die wordt weergegeven door een vector met de volgende eind- en begincoördinaten:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Het is noodzakelijk om de modulus van de kracht te bepalen, evenals al zijn projecties op de coördinaatassen en -vlakken, en de hoeken tussen F¯ en elk van zijn projecties.
Laten we beginnen met het oplossen van het probleem door de coördinaten van de vector F¯ te berekenen. We hebben:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Dan is de krachtmodulus:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Projecties op de coördinaatassen zijn gelijk aan de corresponderende coördinaten van de vector F¯. Laten we de hoeken tussen hen en de F¯-richting berekenen. We hebben:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Aangezien de coördinaten van de vector F¯ bekend zijn, is het mogelijk om de modules van krachtprojecties op het coördinatenvlak te berekenen. Met behulp van de bovenstaande formules krijgen we:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Ten slotte moeten we nog de hoeken berekenen tussen de gevonden projecties op het vlak en de krachtvector. We hebben:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
De vector F¯ ligt dus het dichtst bij het xy-coördinaatvlak.
Probleem met een schuifbalk op een hellend vlak
Laten we nu een fysiek probleem oplossen waarbij het nodig is om het concept van krachtprojectie toe te passen. Laat een houten hellend vlak worden gegeven. De hellingshoek tot de horizon is 45o. In het vliegtuig zit een houten blok met een massa van 3 kg. Het is noodzakelijk om te bepalen met welke versnelling deze staaf door het vlak zal bewegen als bekend is dat de wrijvingscoëfficiënt 0,7 is.
Laten we eerst de bewegingsvergelijking van het lichaam maken. Aangezien er slechts twee krachten op inwerken (de projectie van de zwaartekracht op een vlak en de wrijvingskracht), zal de vergelijking de vorm aannemen:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Hier is Fg, Ff de projectie van respectievelijk zwaartekracht en wrijving. Dat wil zeggen, de taak wordt teruggebracht tot het berekenen van hun waarden.
Aangezien de hoek waaronder het vliegtuig naar de horizon helt 45o is, is het gemakkelijk aan te tonen dat de projectie van de zwaartekracht Fglangs het oppervlak van het vlak is gelijk aan:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Deze krachtprojectie probeert te ontregelenhouten blok en geef het versnelling.
Volgens de definitie is de kracht van glijdende wrijving:
Ff=ΜN
Waar Μ=0, 7 (zie de toestand van het probleem). De reactiekracht van de steun N is gelijk aan de projectie van de zwaartekracht op de as loodrecht op het hellend vlak, dat wil zeggen:
N=mgcos(45o)
Dan is de wrijvingskracht:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Vervang de gevonden krachten in de bewegingsvergelijking, we krijgen:
a=(Fg- Ff)/m=(20.81 - 14.57)/3=2.08 m/ c2.
Het blok zal dus van het hellende vlak naar beneden gaan en zijn snelheid elke seconde met 2,08 m/s verhogen.
