Bij de voorbereiding op het examen wiskunde moeten studenten hun kennis van algebra en meetkunde systematiseren. Ik wil graag alle bekende informatie combineren, bijvoorbeeld hoe de oppervlakte van een piramide te berekenen. Bovendien, vanaf de basis en zijvlakken tot het gehele oppervlak. Als de situatie duidelijk is met de zijvlakken, aangezien het driehoeken zijn, dan is de basis altijd anders.
Hoe vind je de oppervlakte van de basis van de piramide?
Het kan absoluut elke vorm zijn: van een willekeurige driehoek tot een n-gon. En deze basis kan, naast het verschil in het aantal hoeken, een regelmatig of een onjuist cijfer zijn. In de USE-taken die van belang zijn voor schoolkinderen, zijn er alleen taken met de juiste cijfers aan de basis. Daarom zullen we er alleen over praten.
Regelmatige driehoek
Dat is gelijkzijdig. Een waarin alle zijden gelijk zijn en aangeduid met de letter "a". In dit geval wordt het gebied van de basis van de piramide berekend met de formule:
S=(a2√3) / 4.
Vierkant
De formule voor het berekenen van de oppervlakte is de eenvoudigste,hier is "a" weer de zijkant:
S=a2.
Willekeurige regelmatige n-gon
De zijde van een veelhoek heeft dezelfde aanduiding. Voor het aantal hoeken wordt de Latijnse letter n gebruikt.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Hoe de laterale en totale oppervlakte berekenen?
Omdat de basis een regelmatige figuur is, zijn alle zijden van de piramide gelijk. Bovendien is elk van hen een gelijkbenige driehoek, omdat de zijranden gelijk zijn. Om vervolgens het zijoppervlak van de piramide te berekenen, hebt u een formule nodig die bestaat uit de som van identieke monomials. Het aantal termen wordt bepaald door het aantal zijden van de basis.
De oppervlakte van een gelijkbenige driehoek wordt berekend met de formule waarin de helft van het product van de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte. Deze hoogte in de piramide wordt apothema genoemd. De aanduiding is "A". De algemene formule voor het laterale oppervlak is:
S=½ PA, waarbij P de omtrek is van de basis van de piramide.
Er zijn situaties waarin de zijden van de basis niet bekend zijn, maar de zijranden (c) en de vlakke hoek op het hoekpunt (α) worden gegeven. Dan zou het deze formule moeten gebruiken om het zijoppervlak van de piramide te berekenen:
S=n/2in2 sin α.
Probleem 1
Conditie. Zoek de totale oppervlakte van de piramide als de basis een gelijkzijdige driehoek is met een zijde van 4 cm, en het apothema is √3 cm.
Beslissing. ZijnU moet beginnen met het berekenen van de omtrek van de basis. Aangezien dit een regelmatige driehoek is, dan P \u003d 34 \u003d 12 cm Aangezien het apothema bekend is, kunt u onmiddellijk de oppervlakte van het gehele zijoppervlak berekenen: ½12√3=6 √3 cm 2.
Voor een driehoek aan de basis krijg je de volgende oppervlaktewaarde: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Om de totale oppervlakte te bepalen, moet u de twee resulterende waarden optellen: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Antwoord. 10√3cm2.
Probleem 2
Conditie. Er is een regelmatige vierhoekige piramide. De lengte van de zijkant van de voet is 7 mm, de zijkant is 16 mm. Je moet de oppervlakte weten.
Beslissing. Omdat het veelvlak vierhoekig en regelmatig is, is de basis een vierkant. Nadat u de gebieden van de basis en zijvlakken hebt geleerd, is het mogelijk om het gebied van de piramide te berekenen. De formule voor het vierkant staat hierboven. En aan de zijvlakken zijn alle zijden van de driehoek bekend. Daarom kun je de formule van Heron gebruiken om hun oppervlakten te berekenen.
De eerste berekeningen zijn eenvoudig en leiden tot dit getal: 49 mm2. Voor de tweede waarde moet u de halve omtrek berekenen: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nu kun je de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekenen: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54,644 mm 2. Er zijn slechts vier van dergelijke driehoeken, dus bij het berekenen van het uiteindelijke getal moet je het vermenigvuldigen met 4.
Het blijkt: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Antwoord. Gewenste waarde 267, 576mm2.
Probleem 3
Conditie. Voor een regelmatige vierhoekige piramide moet u de oppervlakte berekenen. Het kent de zijde van het vierkant - 6 cm en de hoogte - 4 cm.
Beslissing. De eenvoudigste manier is om de formule te gebruiken met het product van de omtrek en het apothema. De eerste waarde is gemakkelijk te vinden. De tweede is iets moeilijker.
We moeten de stelling van Pythagoras onthouden en een rechthoekige driehoek overwegen. Het wordt gevormd door de hoogte van de piramide en het apothema, de hypotenusa. Het tweede been is gelijk aan de helft van de zijde van het vierkant, aangezien de hoogte van het veelvlak in het midden v alt.
Het gewenste apothema (de hypotenusa van een rechthoekige driehoek) is √(32 + 42)=5 (cm).
Nu kun je de vereiste waarde berekenen: ½(46)5+62=96 (zie2).
Antwoord. 96 cm2.
Probleem 4
Conditie. Gegeven een regelmatige zeshoekige piramide. De zijkanten van de basis zijn 22 mm, de zijribben zijn 61 mm. Wat is het laterale oppervlak van dit veelvlak?
Beslissing. De redenering daarin is dezelfde als beschreven in probleem nr. 2. Alleen werd er een piramide gegeven met een vierkant aan de basis, en nu is het een zeshoek.
Allereerst wordt het gebied van de basis berekend met behulp van de bovenstaande formule: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Nu moet je de halve omtrek van een gelijkbenige driehoek weten, wat het zijvlak is. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Het blijft om het gebied van zo'n strand te berekenendriehoek, en vermenigvuldig het dan met zes en voeg het toe aan degene die bleek voor de basis.
Berekening met de formule van Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2. Berekeningen die het laterale oppervlak geven: 6606=3960 cm2. Het blijft om ze op te tellen om het hele oppervlak te vinden: 5217, 47≈5217 cm2.
Antwoord. Basis - 726√3cm2, zijoppervlak - 3960cm2, totale oppervlakte - 5217cm2.
