Ozhegov's Explanatory Dictionary stelt dat een vijfhoek een geometrische figuur is die wordt begrensd door vijf elkaar snijdende rechte lijnen die vijf interne hoeken vormen, evenals elk object met een vergelijkbare vorm. Als een gegeven veelhoek dezelfde zijden en hoeken heeft, wordt het een regelmatige (vijfhoek) genoemd.
Wat is er interessant aan een regelmatige vijfhoek?
Het was in deze vorm dat het bekende gebouw van het Amerikaanse ministerie van Defensie werd gebouwd. Van de omvangrijke regelmatige veelvlakken heeft alleen de dodecaëder vijfhoekige vlakken. En in de natuur zijn kristallen volledig afwezig, waarvan de gezichten op een regelmatige vijfhoek zouden lijken. Bovendien is deze figuur een veelhoek met een minimum aantal hoeken dat niet kan worden gebruikt om een gebied te betegelen. Alleen een vijfhoek heeft hetzelfde aantal diagonalen als zijn zijden. Mee eens, het is interessant!
Basiseigenschappen en formules
De formules gebruiken voorwillekeurige regelmatige veelhoek, u kunt alle noodzakelijke parameters bepalen die de vijfhoek heeft.
- Centrale hoek α=360 / n=360/5=72°.
- Interne hoek β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Dienovereenkomstig is de som van de binnenhoeken 540°.
- De verhouding van de diagonaal tot de zijkant is (1+√5) /2, dat wil zeggen, de "gulden snede" (ongeveer 1, 618).
- De lengte van de zijde die een regelmatige vijfhoek heeft, kan worden berekend met behulp van een van de drie formules, afhankelijk van welke parameter al bekend is:
- als er een cirkel omheen staat en zijn straal R bekend is, dan is a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- in het geval dat een cirkel met straal r is ingeschreven in een regelmatige vijfhoek, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- het komt voor dat in plaats van stralen de waarde van de diagonaal D bekend is, dan wordt de zijde als volgt bepaald: a ≈ D/1, 618.
- De oppervlakte van een regelmatige vijfhoek wordt bepaald, opnieuw, afhankelijk van de parameter die we kennen:
- als er een ingeschreven of omgeschreven cirkel is, wordt een van de twee formules gebruikt:
S=(nar)/2=2, 5ar of S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
de oppervlakte kan ook worden bepaald door alleen de lengte van de zijde a te kennen:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Gewone vijfhoek: constructie
Deze geometrische figuur kan op verschillende manieren worden gebouwd. Schrijf het bijvoorbeeld in een cirkel met een bepaalde straal, of bouw het op basis van een bepaalde laterale zijde. De volgorde van acties werd beschreven in Euclid's Elements rond 300 voor Christus. We hebben in ieder geval een kompas en een liniaal nodig. Overweeg de constructiemethode met een gegeven cirkel.
1. Selecteer een willekeurige straal en teken een cirkel, markeer het middelpunt met een O.
2. Selecteer op de cirkellijn een punt dat zal dienen als een van de hoekpunten van onze vijfhoek. Laat dit punt A zijn. Verbind de punten O en A met een rechte lijn.
3. Trek een lijn door punt O loodrecht op lijn OA. Wijs het snijpunt van deze lijn met de lijn van de cirkel aan als punt B.
4. In het midden van de afstand tussen de punten O en B, bouw punt C.
5. Teken nu een cirkel waarvan het middelpunt in punt C zal zijn en die door punt A gaat. De plaats van zijn snijpunt met lijn OB (deze zal binnen de allereerste cirkel zijn) zal punt D zijn.
6. Construeer een cirkel die door D gaat, waarvan het middelpunt in A zal zijn. De plaatsen van zijn snijpunt met de oorspronkelijke cirkel moeten worden gemarkeerd met de punten E en F.
7. Construeer nu een cirkel waarvan het middelpunt in E zal zijn. Je moet dit doen zodat hij door A gaat. Het andere snijpunt van de oorspronkelijke cirkel moet worden aangegeven door het punt G.
8. Trek ten slotte een cirkel door A met het middelpunt op punt F. Markeer een ander snijpunt van de oorspronkelijke cirkel met punt H.
9. Nu linksverbind gewoon de hoekpunten A, E, G, H, F. Onze regelmatige vijfhoek is klaar!
