Zeshoekig prisma en zijn belangrijkste kenmerken

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Ruimtelijke meetkunde is de studie van prisma's. Hun belangrijkste kenmerken zijn het volume dat ze bevatten, het oppervlak en het aantal samenstellende elementen. In het artikel zullen we al deze eigenschappen voor een hexagonaal prisma beschouwen.

Over welk prisma hebben we het?

Een hexagonaal prisma is een figuur gevormd door twee polygonen met zes zijden en zes hoeken, en zes parallellogrammen die de gemarkeerde zeshoeken verbinden tot een enkele geometrische formatie.

De afbeelding toont een voorbeeld van dit prisma.

De in rood gemarkeerde zeshoek wordt de basis van de figuur genoemd. Het is duidelijk dat het aantal basen gelijk is aan twee, en beide zijn identiek. De geelgroene vlakken van een prisma worden de zijkanten genoemd. In de figuur worden ze weergegeven door vierkanten, maar in het algemeen zijn het parallellogrammen.

Het zeshoekige prisma kan schuin en recht zijn. In het eerste geval zijn de hoeken tussen de basis en de zijkanten niet recht, in het tweede geval zijn ze gelijk aan 90o. Ook kan dit prisma correct en incorrect zijn. regelmatige zeshoekigehet prisma moet recht zijn en een regelmatige zeshoek aan de basis hebben. Het bovenstaande prisma in de afbeelding voldoet aan deze vereisten, dus het wordt correct genoemd. Verderop in het artikel zullen we alleen de eigenschappen ervan bestuderen, als een algemeen geval.

Elementen

Voor elk prisma zijn de belangrijkste elementen randen, vlakken en hoekpunten. Het zeshoekige prisma is geen uitzondering. In bovenstaande figuur kun je het aantal van deze elementen tellen. We krijgen dus 8 vlakken of zijden (twee basen en zes laterale parallellogrammen), het aantal hoekpunten is 12 (6 hoekpunten voor elke basis), het aantal randen van een hexagonaal prisma is 18 (zes lateraal en 12 voor de basissen).

In de jaren 1750 stelde Leonhard Euler (een Zwitserse wiskundige) voor alle veelvlakken, waaronder een prisma, een wiskundige relatie vast tussen de nummers van de aangegeven elementen. Deze relatie ziet er als volgt uit:

aantal randen=aantal vlakken + aantal hoekpunten - 2.

De bovenstaande cijfers voldoen aan deze formule.

Prisma diagonalen

Alle diagonalen van een hexagonaal prisma kunnen in twee typen worden verdeeld:

• degenen die in de vlakken van zijn gezichten liggen;
• degenen die bij het volledige volume van de figuur horen.

De onderstaande afbeelding toont al deze diagonalen.

Het is te zien dat D₁ de zijdiagonaal is, D₂ en D₃ zijn de diagonalen het hele prisma, D₄ en D_{5 - de diagonalen van de basis.}

De lengtes van de diagonalen van de zijkanten zijn gelijk aan elkaar. Het is gemakkelijk om ze te berekenen met behulp van de bekende stelling van Pythagoras. Laat a de lengte van de zijkant van de zeshoek zijn, b de lengte van de zijkant. Dan heeft de diagonaal lengte:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonaal D₄ is ook gemakkelijk te bepalen. Als we ons herinneren dat een regelmatige zeshoek past in een cirkel met straal a, dan is D_{4 de diameter van deze cirkel, dat wil zeggen, we krijgen de volgende formule:}

D_4=2a.

Diagonale D₅bases zijn wat moeilijker te vinden. Beschouw hiervoor een gelijkzijdige driehoek ABC (zie Fig.). Voor hem AB=BC=a is de hoek ABC 120^{o. Als we de hoogte vanuit deze hoek verlagen (het zal ook de bissectrice en mediaan zijn), dan is de helft van de AC-basis gelijk aan:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

De AC-zijde is de diagonaal van D_{5, dus we krijgen:}

D_5=AC=√3a.

Nu moeten we de diagonalen D₂en D_{3 van een regelmatig hexagonaal prisma vinden. Om dit te doen, moet je zien dat ze de hypotenusa zijn van de overeenkomstige rechthoekige driehoeken. Met behulp van de stelling van Pythagoras krijgen we:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Dus de grootste diagonaal voor alle waarden van a en b isD_2.

Oppervlakte

Om te begrijpen wat er op het spel staat, is de gemakkelijkste manier om de ontwikkeling van dit prisma te overwegen. Het wordt getoond in de afbeelding.

Het is te zien dat om het gebied van alle zijden van de betreffende figuur te bepalen, het noodzakelijk is om het gebied van de vierhoek en het gebied van de zeshoek afzonderlijk te berekenen en vervolgens te vermenigvuldigen door de overeenkomstige gehele getallen gelijk aan het aantal van elke n-gon in het prisma, en tel de resultaten op. Zeshoeken 2, rechthoeken 6.

Voor de oppervlakte van een rechthoek krijgen we:

S_1=ab.

Dan is het laterale oppervlak:

S_2=6ab.

Om de oppervlakte van een zeshoek te bepalen, is de eenvoudigste manier om de bijbehorende formule te gebruiken, die er als volgt uitziet:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Als we het getal n gelijk aan 6 in deze uitdrukking substitueren, krijgen we de oppervlakte van één zeshoek:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Deze uitdrukking moet met twee worden vermenigvuldigd om het gebied van de basis van het prisma te krijgen:

S_os=3√3a^2.

Het blijft om S_os en S_{2 toe te voegen om de totale oppervlakte van de figuur te krijgen:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prismavolume

Na de formule vooroppervlakte van een zeshoekige basis, het berekenen van het volume in het betreffende prisma is net zo eenvoudig als het pellen van peren. Om dit te doen, hoeft u alleen maar het gebied van de botbasis (zeshoek) te vermenigvuldigen met de hoogte van de figuur, waarvan de lengte gelijk is aan de lengte van de zijrand. We krijgen de formule:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Merk op dat het product van de basis en de hoogte de waarde geeft van het volume van absoluut elk prisma, inclusief het schuine. In het laatste geval is de berekening van de hoogte echter ingewikkeld, aangezien deze niet langer gelijk zal zijn aan de lengte van de zijrib. Wat betreft een regelmatig hexagonaal prisma, de waarde van het volume is een functie van twee variabelen: zijden a en b.