Wiskunde stamt uit de oudheid. Dankzij haar gaven architectuur, constructie en militaire wetenschap een nieuwe ontwikkelingsronde, de prestaties die met behulp van wiskunde werden behaald, leidden tot de beweging van vooruitgang. Tot op de dag van vandaag blijft wiskunde de belangrijkste wetenschap die in alle andere takken wordt aangetroffen.
Om onderwijs te kunnen volgen, beginnen kinderen uit het eerste leerjaar geleidelijk in deze omgeving op te gaan. Het is erg belangrijk om wiskunde te begrijpen, omdat het, tot op zekere hoogte, bij iedereen in zijn leven voorkomt. Dit artikel analyseert een van de belangrijkste elementen: het vinden en toepassen van afgeleiden. Niet iedereen kan zich voorstellen hoe wijdverbreid dit concept wordt gebruikt. Overweeg meer dan 10 toepassingen van derivaten in bepaalde vakgebieden of wetenschappen.
Toepassing van de afgeleide op de studie van een functie
De afgeleide is zo'n limietde verhouding van de toename van een functie tot de toename van zijn argument wanneer de exponent van het argument naar nul neigt. De afgeleide is een onmisbaar ding in de studie van een functie. Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de toename en afname van de laatste, extrema, convexiteit en concaviteit te bepalen. Differentiaalrekening is opgenomen in het verplichte curriculum voor 1e en 2e jaars studenten van wiskundige universiteiten.
Scope en functie nullen
De eerste fase van elke studie van de grafiek begint met het achterhalen van het definitiedomein, in zeldzamere gevallen - de waarde. Het definitiedomein is ingesteld langs de as van de abscis, met andere woorden, dit zijn numerieke waarden op de OX-as. Vaak is het bereik al ingesteld, maar als dat niet het geval is, moet de waarde van het x-argument worden geëvalueerd. Stel, als voor sommige waarden van het argument de functie niet klopt, dan wordt dit argument uitgesloten van het bereik.
Nullen van de functie worden op een eenvoudige manier gevonden: de functie f(x) moet worden gelijkgesteld aan nul en de resulterende vergelijking moet worden opgelost met betrekking tot één variabele x. De verkregen wortels van de vergelijking zijn de nullen van de functie, dat wil zeggen, in deze x is de functie 0.
Verhogen en verlagen
Het gebruik van de afgeleide om functies voor monotoniciteit te bestuderen, kan vanuit twee posities worden bekeken. Een monotone functie is een categorie die alleen positieve waarden van de afgeleide heeft, of alleen negatieve waarden. In eenvoudige bewoordingen neemt de functie alleen maar toe of neemt alleen af over het gehele onderzochte interval:
- Parameter verhogen. Functief(x) zal toenemen als de afgeleide van f`(x) groter is dan nul.
- Aflopende parameter. De functie f(x) zal afnemen als de afgeleide van f`(x) kleiner is dan nul.
Tangens en helling
De toepassing van de afgeleide op de studie van een functie wordt ook bepaald door de raaklijn (rechte lijn onder een hoek) aan de grafiek van de functie op een bepaald punt. Raaklijn aan een punt (x0) - een lijn die door een punt gaat en behoort tot de functie waarvan de coördinaten (x0, f(x 0 )) en met helling f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - de vergelijking van de raaklijn aan het gegeven punt van de grafiek van de functie.
Geometrische betekenis van de afgeleide: de afgeleide van de functie f(x) is gelijk aan de helling van de gevormde raaklijn aan de grafiek van deze functie op een bepaald punt x. De hoekcoëfficiënt is op zijn beurt gelijk aan de tangens van de hellingshoek van de tangens aan de OX-as (abscis) in de positieve richting. Dit uitvloeisel is fundamenteel voor de toepassing van de afgeleide op de grafiek van een functie.
Extrem punten
Het toepassen van een afgeleide op een onderzoek omvat het vinden van hoge en lage punten.
Om de minimum- en maximumpunten te vinden en te bepalen, moet u:
- Zoek de afgeleide van de functie f(x).
- Stel de resulterende vergelijking in op nul.
- Zoek de wortels van de vergelijking.
- Vind hoge en lage punten.
Om uitersten te vindenkenmerken:
- Zoek de minimum- en maximumpunten met behulp van de bovenstaande methode.
- Vervang deze punten in de oorspronkelijke vergelijking en bereken ymax en ymin
Het maximale punt van de functie is de grootste waarde van de functie f(x) op het interval, met andere woorden xmax.
Het minimumpunt van de functie is de kleinste waarde van de functie f(x) op het interval, met andere woorden xname
Extremum punten zijn hetzelfde als het maximum en minimum punten, en het uiterste van de functie (ymax. and yminimum) - functiewaarden die overeenkomen met extreme punten.
Convexiteit en concaafheid
U kunt de convexiteit en concaafheid bepalen door gebruik te maken van de afgeleide voor het plotten:
- Een functie f(x) onderzocht op het interval (a, b) is concaaf als de functie zich onder al zijn raaklijnen binnen dit interval bevindt.
- De functie f(x) bestudeerd op het interval (a, b) is convex als de functie zich boven al zijn raaklijnen binnen dit interval bevindt.
Het punt dat convexiteit en concaafheid scheidt, wordt het buigpunt van de functie genoemd.
Om buigpunten te vinden:
- Vind kritische punten van de tweede soort (tweede afgeleide).
- Buigpunten zijn die kritieke punten die twee tegenovergestelde tekens scheiden.
- Bereken functiewaarden bij functie-buigpunten.
Gedeeltelijke afgeleiden
Toepassinger zijn afgeleiden van dit type in problemen waarbij meer dan één onbekende variabele wordt gebruikt. Meestal worden dergelijke afgeleiden aangetroffen bij het plotten van een functiegrafiek, om preciezer te zijn, oppervlakken in de ruimte, waar in plaats van twee assen er drie zijn, dus drie grootheden (twee variabelen en één constante).
De basisregel bij het berekenen van partiële afgeleiden is om één variabele te kiezen en de rest als constanten te behandelen. Daarom wordt de constante bij het berekenen van de partiële afgeleide als een numerieke waarde (in veel tabellen met afgeleiden worden ze aangeduid als C=const). De betekenis van zo'n afgeleide is de veranderingssnelheid van de functie z=f(x, y) langs de OX- en OY-assen, dat wil zeggen, het karakteriseert de steilheid van de verdiepingen en uitstulpingen van het geconstrueerde oppervlak.
Afgeleide in de natuurkunde
Het gebruik van de afgeleide in de natuurkunde is wijdverbreid en belangrijk. Fysieke betekenis: de afgeleide van het pad naar de tijd is de snelheid en de versnelling is de afgeleide van de snelheid naar de tijd. Vanuit de fysieke betekenis kunnen veel takken worden getrokken naar verschillende takken van de natuurkunde, terwijl de betekenis van de afgeleide volledig behouden blijft.
Met behulp van de afgeleide worden de volgende waarden gevonden:
- Snelheid in kinematica, waarbij de afgeleide van de afgelegde afstand wordt berekend. Als de tweede afgeleide van het pad of de eerste afgeleide van de snelheid wordt gevonden, wordt de versnelling van het lichaam gevonden. Bovendien is het mogelijk om de momentane snelheid van een materieel punt te vinden, maar hiervoor is het noodzakelijk om de toename ∆t en ∆r te kennen.
- In de elektrodynamica:berekening van de momentane sterkte van de wisselstroom, evenals de EMF van elektromagnetische inductie. Door de afgeleide te berekenen, kun je het maximale vermogen vinden. De afgeleide van de hoeveelheid elektrische lading is de stroomsterkte in de geleider.
Afgeleide van scheikunde en biologie
Chemie: het derivaat wordt gebruikt om de snelheid van een chemische reactie te bepalen. De chemische betekenis van het derivaat: functie p=p(t), in dit geval is p de hoeveelheid van een stof die in tijd t een chemische reactie aangaat. ∆t - tijdstap, ∆p - hoeveelheid stof. De limiet van de verhouding van ∆p tot ∆t, waarbij ∆t naar nul neigt, wordt de snelheid van een chemische reactie genoemd. De gemiddelde waarde van een chemische reactie is de verhouding ∆p/∆t. Bij het bepalen van de snelheid is het noodzakelijk om precies alle noodzakelijke parameters en omstandigheden te kennen om de geaggregeerde toestand van de stof en het stroommedium te kennen. Dit is een vrij groot aspect in de chemie, dat veel wordt gebruikt in verschillende industrieën en menselijke activiteiten.
Biologie: het concept van een afgeleide wordt gebruikt om de gemiddelde reproductiesnelheid te berekenen. Biologische betekenis: we hebben een functie y=x(t). ∆t - tijdstoename. Vervolgens verkrijgen we met behulp van enkele transformaties de functie y`=P(t)=x`(t) - de vitale activiteit van de populatie van tijd t (gemiddelde reproductiesnelheid). Dit gebruik van de afgeleide stelt u in staat statistieken bij te houden, de reproductiesnelheid te volgen, enzovoort.
Afgeleide in geografie en economie
De afgeleide stelt geografen in staat om te beslissentaken zoals het vinden van de bevolking, het berekenen van waarden in seismografie, het berekenen van radioactiviteit van nucleaire geofysische indicatoren, het berekenen van interpolatie.
In de economie is een belangrijk onderdeel van berekeningen de differentiaalrekening en de berekening van de afgeleide. Dit stelt ons in de eerste plaats in staat om de grenzen van de noodzakelijke economische waarden te bepalen. Bijvoorbeeld de hoogste en laagste arbeidsproductiviteit, kosten, winst. In principe worden deze waarden berekend uit functiegrafieken, waar ze extremen vinden, de monotoniciteit van de functie in het gewenste gebied bepalen.
Conclusie
De rol van deze differentiaalrekening is, zoals opgemerkt in het artikel, betrokken bij verschillende wetenschappelijke structuren. Het gebruik van afgeleide functies is een belangrijk element in het praktische deel van wetenschap en productie. Het is niet voor niets dat we op de middelbare school en universiteit hebben geleerd om complexe grafieken te maken, functies te verkennen en eraan te werken. Zoals u kunt zien, zou het zonder afgeleiden en differentiële berekeningen onmogelijk zijn om vitale indicatoren en hoeveelheden te berekenen. De mensheid heeft geleerd verschillende processen te modelleren en te verkennen, om complexe wiskundige problemen op te lossen. Wiskunde is inderdaad de koningin van alle wetenschappen, omdat deze wetenschap ten grondslag ligt aan alle andere natuurlijke en technische disciplines.
