Het bestuderen van de kansrekening begint met het oplossen van problemen van optellen en vermenigvuldigen van kansen. Het is de moeite waard om meteen te vermelden dat een student bij het beheersen van dit kennisgebied een probleem kan tegenkomen: als fysieke of chemische processen visueel kunnen worden weergegeven en empirisch kunnen worden begrepen, dan is het niveau van wiskundige abstractie erg hoog, en begrip komt hier alleen met ervaring.
Het spel is echter de kaars waard, omdat de formules - zowel in dit artikel besproken als complexere - tegenwoordig overal worden gebruikt en mogelijk nuttig zijn in het werk.
Oorsprong
Vreemd genoeg was de aanzet voor de ontwikkeling van dit deel van de wiskunde … gokken. Inderdaad, dobbelstenen, het opgooien van munten, poker en roulette zijn typische voorbeelden die gebruik maken van optellen en vermenigvuldigen van kansen. Aan het voorbeeld van taken in een leerboek is dit duidelijk te zien. Mensen waren geïnteresseerd om te leren hoe ze hun winkansen konden vergroten, en ik moet zeggen dat sommigen hierin zijn geslaagd.
Bijvoorbeeld, al in de 21e eeuw, één persoon, wiens naam we niet zullen onthullen,gebruikte deze kennis die door de eeuwen heen was verzameld om het casino letterlijk te "zuiveren" en won enkele tientallen miljoenen dollars bij roulette.
Ondanks de toegenomen belangstelling voor het onderwerp, werd er echter pas in de 20e eeuw een theoretisch kader ontwikkeld dat de 'theorie' tot een volwaardig onderdeel van de wiskunde maakte. Tegenwoordig kun je in bijna elke wetenschap berekeningen vinden met behulp van probabilistische methoden.
Toepasselijkheid
Een belangrijk punt bij het gebruik van formules voor optellen en vermenigvuldigen van kansen, voorwaardelijke kans is de vervulbaarheid van de centrale limietstelling. Anders zullen alle berekeningen, hoe plausibel ze ook lijken, onjuist zijn, hoewel de leerling dit misschien niet realiseert.
Ja, de zeer gemotiveerde leerling komt in de verleiding om nieuwe kennis bij elke gelegenheid te gebruiken. Maar in dit geval moet men het wat rustiger aan doen en het toepassingsgebied strikt afbakenen.
Waarschijnlijkheidstheorie gaat over willekeurige gebeurtenissen, die in empirische termen het resultaat zijn van experimenten: we kunnen een zeszijdige dobbelsteen gooien, een kaart uit een stapel trekken, het aantal defecte onderdelen in een batch voorspellen. Bij sommige vragen is het echter categorisch onmogelijk om formules uit dit deel van de wiskunde te gebruiken. We zullen aan het einde van het artikel de kenmerken bespreken van het overwegen van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, de stellingen van optellen en vermenigvuldigen van gebeurtenissen, maar laten we nu naar voorbeelden kijken.
Basisconcepten
Een willekeurige gebeurtenis betekent een proces of resultaat dat wel of niet kan verschijnenals resultaat van het experiment. We gooien bijvoorbeeld een boterham - het kan boter omhoog of boter naar beneden vallen. Een van de twee uitkomsten zal willekeurig zijn en we weten niet van tevoren welke van de twee zal plaatsvinden.
Bij het bestuderen van optelling en vermenigvuldiging van kansen hebben we nog twee concepten nodig.
Gezamenlijke gebeurtenissen zijn die gebeurtenissen waarvan het optreden van de ene het optreden van de andere niet uitsluit. Laten we zeggen dat twee mensen tegelijkertijd op een doel schieten. Als een van hen een succesvol schot afvuurt, heeft dit geen invloed op het vermogen van de ander om te raken of te missen.
Inconsistent zullen dergelijke gebeurtenissen zijn, waarvan het optreden tegelijkertijd onmogelijk is. Als je bijvoorbeeld maar één bal uit de doos trekt, kun je niet zowel blauw als rood tegelijk krijgen.
Aanduiding
Het concept van waarschijnlijkheid wordt aangegeven met de Latijnse hoofdletter P. Vervolgens staan tussen haakjes argumenten die bepaalde gebeurtenissen aanduiden.
In de formules van de optellingsstelling, voorwaardelijke kans, vermenigvuldigingsstelling, zie je uitdrukkingen tussen haakjes, bijvoorbeeld: A+B, AB of A|B. Ze zullen op verschillende manieren worden berekend, we gaan er nu naar toe.
Toevoeging
Laten we eens kijken naar gevallen waarin formules voor optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
Voor onverenigbare gebeurtenissen is de eenvoudigste optelformule relevant: de kans op een willekeurige uitkomst is gelijk aan de som van de kansen van elk van deze uitkomsten.
Stel dat er een doos is met 2 blauwe, 3 rode en 5 gele ballonnen. Er zitten in totaal 10 items in de doos. Wat is het percentage van de waarheid van de bewering dat we een blauwe of rode bal zullen trekken? Het zal gelijk zijn aan 2/10 + 3/10, d.w.z. vijftig procent.
In het geval van incompatibele gebeurtenissen wordt de formule ingewikkelder, omdat er een extra term wordt toegevoegd. We komen er in één paragraaf op terug, nadat we nog een formule hebben overwogen.
Vermenigvuldigen
Optellen en vermenigvuldigen van kansen op onafhankelijke gebeurtenissen worden in verschillende gevallen gebruikt. Als we, volgens de conditie van het experiment, tevreden zijn met een van de twee mogelijke uitkomsten, zullen we de som berekenen; als we twee bepaalde uitkomsten na elkaar willen krijgen, zullen we een andere formule gebruiken.
Terugkerend naar het voorbeeld uit het vorige gedeelte, willen we eerst de blauwe bal tekenen en dan de rode. Het eerste getal dat we kennen is 2/10. Wat gebeurt er nu? Er zijn nog 9 ballen over, er zijn nog steeds hetzelfde aantal rode - drie stukken. Volgens de berekeningen krijg je 3/9 of 1/3. Maar wat nu met twee getallen? Het juiste antwoord is vermenigvuldigen om 2/30 te krijgen.
Gezamenlijke Evenementen
Nu kunnen we de somformule voor gezamenlijke evenementen opnieuw bekijken. Waarom dwalen we af van het onderwerp? Om te leren hoe kansen worden vermenigvuldigd. Nu komt deze kennis van pas.
We weten al wat de eerste twee termen zullen zijn (hetzelfde als in de eerder besproken optelformule), nu moeten we aftrekkenhet product van kansen die we zojuist hebben leren berekenen. Voor de duidelijkheid schrijven we de formule: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Het blijkt dat zowel optellen als vermenigvuldigen van kansen in één uitdrukking worden gebruikt.
Laten we zeggen dat we een van de twee problemen moeten oplossen om krediet te krijgen. We kunnen de eerste oplossen met een kans van 0,3, en de tweede - 0,6 Oplossing: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Merk op dat het optellen van de getallen hier niet voldoende zal zijn.
Voorwaardelijke kans
Tot slot is er het concept van voorwaardelijke waarschijnlijkheid, waarvan de argumenten tussen haakjes staan en gescheiden door een verticale streep. De invoer P(A|B) luidt als volgt: “waarschijnlijkheid van gebeurtenis A gegeven gebeurtenis B”.
Laten we naar een voorbeeld kijken: een vriend geeft je een apparaat, laat het een telefoon zijn. Het kan kapot (20%) of goed (80%) zijn. Je bent in staat om elk apparaat te repareren dat in je handen v alt met een kans van 0,4 of je bent niet in staat om het te doen (0,6). Ten slotte, als het apparaat in goede staat verkeert, kunt u de juiste persoon bereiken met een kans van 0,7.
Het is gemakkelijk in te zien hoe voorwaardelijke waarschijnlijkheid in dit geval werkt: je kunt niet tot een persoon doordringen als de telefoon kapot is, en als hij goed is, hoef je hem niet te repareren. Dus om resultaten op het "tweede niveau" te krijgen, moet u weten welke gebeurtenis op de eerste werd uitgevoerd.
Berekeningen
Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van problemen met optellen en vermenigvuldigen van kansen, met behulp van de gegevens uit de vorige paragraaf.
Laten we eerst de kans vinden dat jehet aan u gegeven apparaat repareren. Om dit te doen, moet het ten eerste defect zijn en ten tweede moet u de reparatie uitvoeren. Dit is een typisch vermenigvuldigingsprobleem: we krijgen 0.20.4=0.08.
Hoe groot is de kans dat je meteen de juiste persoon bereikt? Makkelijker dan simpel: 0,80,7=0,56 In dit geval heb je geconstateerd dat de telefoon werkt en heb je met succes gebeld.
Beschouw ten slotte dit scenario: je hebt een kapotte telefoon ontvangen, deze gerepareerd, vervolgens het nummer gebeld en de persoon aan de andere kant van de lijn nam de telefoon op. Hier is de vermenigvuldiging van drie componenten al vereist: 0, 20, 40, 7=0, 056.
En wat als je twee niet-werkende telefoons tegelijk hebt? Hoe waarschijnlijk is het dat u er ten minste één van herstelt? Dit is een probleem van optellen en vermenigvuldigen van kansen, aangezien gezamenlijke gebeurtenissen worden gebruikt. Oplossing: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Voorzichtig gebruik
Zoals aan het begin van het artikel vermeld, moet het gebruik van kansrekening weloverwogen en bewust zijn.
Hoe groter de reeks experimenten, hoe dichter de theoretisch voorspelde waarde de praktische benadert. We gooien bijvoorbeeld een munt op. Theoretisch kunnen we, als we weten over het bestaan van formules voor optellen en vermenigvuldigen van kansen, voorspellen hoe vaak kop en munt eruit zullen vallen als we het experiment 10 keer uitvoeren. We hebben een experiment gedaan enToevallig was de verhouding van de gevallen zijden 3 op 7. Maar als je een reeks van 100, 1000 of meer pogingen doet, blijkt dat de verdelingsgrafiek steeds dichter bij de theoretische komt: 44 tot 56, 482 tot 518 enzovoort.
Stel je nu voor dat dit experiment niet met een munt wordt uitgevoerd, maar met de productie van een nieuwe chemische stof, waarvan we de waarschijnlijkheid niet weten. We zouden 10 experimenten uitvoeren en als we geen succesvol resultaat kregen, zouden we kunnen generaliseren: "de stof kan niet worden verkregen." Maar wie weet, als we de elfde poging hadden gedaan, hadden we het doel dan wel of niet bereikt?
Dus als je het onbekende binnengaat, het onontgonnen rijk, is de kansrekening misschien niet van toepassing. Elke volgende poging kan in dit geval succesvol zijn en generalisaties zoals "X bestaat niet" of "X is onmogelijk" zullen voorbarig zijn.
Afsluitwoord
Dus we hebben gekeken naar twee soorten optellen, vermenigvuldigen en voorwaardelijke kansen. Met verdere studie van dit gebied is het noodzakelijk om situaties te leren onderscheiden waarin elke specifieke formule wordt gebruikt. Bovendien moet u weten of probabilistische methoden algemeen toepasbaar zijn om uw probleem op te lossen.
Als je oefent, begin je na een tijdje alle vereiste handelingen uitsluitend in je hoofd uit te voeren. Voor degenen die dol zijn op kaartspellen, kan deze vaardigheid worden overwogenuiterst waardevol - u verhoogt uw winkansen aanzienlijk, gewoon door de kans te berekenen dat een bepaalde kaart of reeks eruit v alt. De opgedane kennis kan echter gemakkelijk worden toegepast op andere activiteitsgebieden.
