In de wiskunde is er het concept "verzameling", evenals voorbeelden van het vergelijken van dezelfde verzamelingen met elkaar. De namen van soorten vergelijkingen van verzamelingen zijn de volgende woorden: bijectie, injectie, surjectie. Elk van hen wordt hieronder in meer detail beschreven.
Een bijectie is… wat is het?
Een groep elementen van de eerste set is gekoppeld aan de tweede groep elementen van de tweede set in deze vorm: elk element van de eerste groep is direct gekoppeld aan een ander element van de tweede groep, en daar is geen situatie met een tekort of opsomming van elementen van een of van twee groepen verzamelingen.
Formulering van de belangrijkste eigenschappen:
- Eén element voor één.
- Er zijn geen extra elementen bij het matchen en de eerste eigenschap blijft behouden.
- Het is mogelijk om de toewijzing om te keren terwijl de algemene weergave behouden blijft.
- Een bijectie is een functie die zowel injectief als surjectief is.
Bijectie vanuit wetenschappelijk oogpunt
Bijjectieve functies zijn precies isomorfismen in de categorie "verzameling en verzameling van functies". Bijecties zijn echter niet altijd isomorfismen voor complexere categorieën. In een bepaalde categorie groepen moeten morfismen bijvoorbeeld homomorfismen zijn, omdat ze de structuur van de groep moeten behouden. Daarom zijn isomorfismen groepsisomorfismen, die bijectieve homomorfismen zijn.
Het concept van "één-op-één correspondentie" wordt veralgemeend naar deelfuncties, waar ze deelbijecties worden genoemd, hoewel een deelbijectie een injectie zou moeten zijn. De reden voor deze versoepeling is dat de partiële (eigen) functie niet langer gedefinieerd is voor een deel van zijn domein. Er is dus geen goede reden om zijn inverse functie te beperken tot een volledige, d.w.z. overal gedefinieerd in zijn domein. De verzameling van alle partiële bijecties bij een gegeven basisverzameling wordt een symmetrische inverse semigroep genoemd.
Een andere manier om hetzelfde concept te definiëren: het is de moeite waard om te zeggen dat een partiële bijectie van verzamelingen van A naar B elke relatie R (partiële functie) is met de eigenschap dat R een bijectiegrafiek f:A'→B is ' waarbij A' een deelverzameling is van A en B' een deelverzameling is van B.
Als een partiële bijectie op dezelfde set staat, wordt dit soms een een-op-een partiële transformatie genoemd. Een voorbeeld is de zojuist gedefinieerde Möbius-transformatie op het complexe vlak, niet de voltooiing ervan in het uitgebreide complexe vlak.
Injectie
Een groep elementen van de eerste set komt overeen met de tweede groep elementen uit de tweede set in deze vorm: elk element van de eerste groep komt overeen met een ander element van de tweede, maar niet alle ze worden omgezet in paren. Het aantal ongepaarde elementen hangt af van het verschil in het aantal van deze zelfde elementen in elk van de sets: als een set uit eenendertig elementen bestaat en de andere heeft er nog zeven, dan is het aantal ongepaarde elementen zeven. Gerichte injectie in de set. Bijectie en injectie zijn vergelijkbaar, maar niet meer dan vergelijkbaar.
surjectie
Een groep elementen van de eerste set wordt op deze manier gematcht met de tweede groep elementen uit de tweede set: elk element van een groep vormt een paar, zelfs als er een verschil is tussen het aantal elementen. Hieruit volgt dat een element uit de ene groep kan paren met verschillende elementen uit een andere groep.
Noch bijectieve, noch injectieve, noch surjectieve functie
Dit is een functie van bijectieve en surjectieve vorm, maar met een rest (ongepaard)=> injectie. In zo'n functie is er duidelijk een verband tussen bijectie en surjectie, omdat deze twee soorten verzamelingenvergelijkingen direct omvat. Het geheel van al deze functies is er dus niet één van op zichzelf.
Uitleg over allerlei functies
De waarnemer is bijvoorbeeld gefascineerd door het volgende. Er zijn boogschietwedstrijden. Iederedeelnemers willen het doel raken (om de taak te vergemakkelijken: waar de pijl precies raakt wordt niet meegerekend). Slechts drie deelnemers en drie doelen - dit is de eerste site (site) voor het toernooi. In de volgende secties blijft het aantal boogschutters behouden, maar het aantal doelen is gewijzigd: op de tweede - vier doelen, op de volgende - ook vier en op de vierde - vijf. Elke deelnemer schiet op elk doel.
- De eerste locatie voor het toernooi. De eerste boogschutter raakt slechts één doel. De tweede raakt slechts één doel. De derde herha alt zich na de anderen, en alle boogschutters raken verschillende doelen: die tegenover hen. Als resultaat raakte 1 (de eerste boogschutter) het doel (a), 2 - in (b), 3 - in (c). De volgende afhankelijkheid wordt waargenomen: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). De conclusie zal het oordeel zijn dat een dergelijke vergelijking van verzamelingen een bijectie is.
- Het tweede platform voor het toernooi. De eerste boogschutter raakt slechts één doel. De tweede raakt ook slechts één doel. De derde probeert niet echt alles na de anderen te herhalen, maar de toestand is hetzelfde - alle boogschutters raken verschillende doelen. Maar, zoals eerder vermeld, zijn er al vier doelen op het tweede platform. Afhankelijkheid: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - ongepaard element van de set. In dit geval zal de conclusie zijn dat zo'n setvergelijking een injectie is.
- De derde locatie voor het toernooi. De eerste boogschutter raakt slechts één doel. De tweede raakt weer slechts één doel. De derde besluit zichzelf bij elkaar te rapen en raakt het derde en vierde doelwit. Als gevolg hiervan is de afhankelijkheid: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Hier zal de conclusie het oordeel zijn dat een dergelijke vergelijking van verzamelingen een surjectie is.
- Het vierde platform voor het toernooi. Bij de eerste is alles al duidelijk, hij raakt nog maar één doel, waarin straks geen plaats meer is voor al saaie treffers. Nu neemt de tweede de rol aan van de nog recente derde en raakt opnieuw slechts één doelwit, zich herhalend na het eerste. De derde blijft zichzelf beheersen en stopt niet met het introduceren van zijn pijl bij de derde en vierde doelen. De vijfde was echter nog steeds buiten zijn controle. Dus afhankelijkheid: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - ongepaard element van de reeks doelen. Conclusie: zo'n vergelijking van verzamelingen is geen surjectie, geen injectie en geen bijectie.
Het construeren van een bijectie, injectie of surjectie zal nu geen probleem zijn, evenals het vinden van verschillen tussen beide.
