Om het parallellisme en de loodrechtheid van vlakken te bepalen, en om de afstanden tussen deze geometrische objecten te berekenen, is het handig om een of ander type numerieke functies te gebruiken. Voor welke problemen is het handig om de vergelijking van een vlak in segmenten te gebruiken? In dit artikel zullen we kijken naar wat het is en hoe het te gebruiken in praktische taken.
Wat is een vergelijking in lijnstukken?
Een vlak kan op verschillende manieren in de 3D-ruimte worden gedefinieerd. In dit artikel zullen er enkele worden gegeven bij het oplossen van verschillende soorten problemen. Hier geven we een gedetailleerde beschrijving van de vergelijking in segmenten van het vlak. Het heeft over het algemeen de volgende vorm:
x/p + y/q + z/r=1.
Waarbij symbolen p, q, r enkele specifieke getallen aanduiden. Deze vergelijking kan gemakkelijk worden vertaald in een algemene uitdrukking en in andere vormen van numerieke functies voor het vlak.
Het gemak van het schrijven van de vergelijking in segmenten ligt in het feit dat het de expliciete coördinaten bevat van het snijpunt van het vlak met loodrechte coördinaatassen. Op de x-asten opzichte van de oorsprong snijdt het vlak een segment met lengte p af, op de y-as - gelijk aan q, op z - met lengte r.
Als een van de drie variabelen niet in de vergelijking voorkomt, betekent dit dat het vlak niet door de corresponderende as gaat (wiskundigen zeggen dat het oneindig kruist).
Hier volgen enkele problemen waarin we laten zien hoe u met deze vergelijking kunt werken.
Communicatie van de algemene en in segmenten van vergelijkingen
Het is bekend dat het vlak wordt gegeven door de volgende gelijkheid:
2x - 3y + z - 6=0.
Het is noodzakelijk om deze algemene vergelijking van het vlak in segmenten op te schrijven.
Als een soortgelijk probleem zich voordoet, moet je deze techniek volgen: we verplaatsen de vrije term naar de rechterkant van de gelijkheid. Vervolgens delen we de hele vergelijking door deze term en proberen het uit te drukken in de vorm die in de vorige paragraaf is gegeven. We hebben:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
We hebben in de segmenten de vergelijking van het vlak verkregen, aanvankelijk in een algemene vorm gegeven. Het v alt op dat het vlak voor de x-, y- en z-as segmenten afsnijdt met een lengte van 3, 2 en 6. De y-as snijdt het vlak in het negatieve coördinaatgebied.
Bij het opstellen van een vergelijking in segmenten is het belangrijk dat alle variabelen worden voorafgegaan door een "+" teken. Alleen in dit geval zal het getal waarmee deze variabele wordt gedeeld de coördinaat laten zien die op de as is afgesneden.
Normale vector en punt op het vliegtuig
Het is bekend dat een vlak een richtingsvector heeft (3; 0; -1). Het is ook bekend dat het door het punt (1; 1; 1) gaat. Schrijf voor dit vlak een vergelijking in segmenten.
Om dit probleem op te lossen, moet je eerst de algemene vorm voor dit tweedimensionale geometrische object gebruiken. De algemene vorm is geschreven als:
Ax + By + Cz + D=0.
De eerste drie coëfficiënten hier zijn de coördinaten van de gidsvector, die is gespecificeerd in de probleemstelling, namelijk:
A=3;
B=0;
C=-1.
Het blijft om de vrije term D te vinden. Deze kan worden bepaald met de volgende formule:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Waar de coördinaatwaarden met index 1 overeenkomen met de coördinaten van een punt dat bij het vlak hoort. We vervangen hun waarden van de toestand van het probleem, we krijgen:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nu kun je de volledige vergelijking schrijven:
3x - z - 2=0.
De techniek om deze uitdrukking om te zetten in een vergelijking in segmenten van het vlak is hierboven al gedemonstreerd. Pas het toe:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Het antwoord op het probleem is ontvangen. Merk op dat dit vlak alleen de x- en z-assen snijdt. Voor y is het parallel.
Twee rechte lijnen die een vlak definiëren
Vanuit de cursus ruimtelijke meetkunde weet elke student dat twee willekeurige lijnen op unieke wijze een vlak definiëren indriedimensionale ruimte. Laten we een soortgelijk probleem oplossen.
Er zijn twee vergelijkingen van lijnen bekend:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Het is noodzakelijk om de vergelijking van het vlak op te schrijven in segmenten die door deze lijnen gaan.
Omdat beide lijnen in het vlak moeten liggen, betekent dit dat hun vectoren (geleiders) loodrecht moeten staan op de vector (geleider) voor het vlak. Tegelijkertijd is het bekend dat het vectorproduct van willekeurige twee gerichte segmenten het resultaat geeft in de vorm van coördinaten van de derde, loodrecht op de twee oorspronkelijke. Met deze eigenschap verkrijgen we de coördinaten van een vector loodrecht op het gewenste vlak:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Omdat het kan worden vermenigvuldigd met een willekeurig getal, vormt dit een nieuw gericht segment evenwijdig aan het origineel, we kunnen het teken van de verkregen coördinaten vervangen door het tegenovergestelde (vermenigvuldigen met -1), we krijgen:
(1; 2; 1).
We kennen de richtingsvector. Het blijft om een willekeurig punt van een van de rechte lijnen te nemen en de algemene vergelijking van het vlak op te stellen:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Als we deze gelijkheid vertalen naar een uitdrukking in segmenten, krijgen we:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Het vlak snijdt dus alle drie de assen in het positieve gebied van het coördinatensysteem.
Drie punten en een vliegtuig
Net als twee rechte lijnen, definiëren drie punten een vlak dat uniek is in de driedimensionale ruimte. We schrijven de bijbehorende vergelijking in segmenten als de volgende coördinaten van in het vlak liggende punten bekend zijn:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Laten we het volgende doen: bereken de coördinaten van twee willekeurige vectoren die deze punten verbinden, en vind dan de vector n¯ loodrecht op het vlak door het product van de gevonden gerichte segmenten te berekenen. We krijgen:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6)
Neem het punt P als voorbeeld, stel de vergelijking van het vlak op:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 of z=0.
We hebben een eenvoudige uitdrukking die overeenkomt met het xy-vlak in het gegeven rechthoekige coördinatensysteem. Het kan niet in segmenten worden geschreven, aangezien de x- en y-assen tot het vlak behoren, en de lengte van het op de z-as afgesneden segment nul is (het punt (0; 0; 0) behoort tot het vlak).
